4角形の対角線と面積の関係
4角形の対角線と面積の関係
反時計まわりに4角形\(ABCD\)がある。
このとき4角形\(ABCD\)の面積\(S\)は
\[ S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right) \] となる。
反時計まわりに4角形\(ABCD\)がある。
このとき4角形\(ABCD\)の面積\(S\)は
\[ S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right) \] となる。
\begin{align*}
S & =\left|\triangle ABC\right|+\left|\triangle ACD\right|\\
& =\triangle CAB+\triangle DAC\\
& =\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{AC}\\
& =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DA}\right)\\
& =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right)\right)\\
& =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\end{align*}
時計回りに4角形\(ABCD\)があっても符号は変わらない。
ページ情報
| タイトル | 4角形の対角線と面積の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ly4zxh53/ |
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4角形が円に外接するときの対辺の和
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right|
\]
ブレートシュナイダーの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}
\]
オイラーの定理
\[
p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)
\]
4角形の対辺同士の内積
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)
\]