第2種チェビシェフ多項式の因数分解
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
(1)
\[ U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x) \](2)
\[ U_{2n}(x)=(-1)^{n}W_{n}(x)W_{n}(-x) \] \(W(x)\)は第4種チェビシェフ多項式である。(1)
\begin{align*} U_{2n-1}(x) & =\frac{\sin(2n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{2\sin(n\cos^{\bullet}x)\cos(n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =2U_{n-1}(x)T_{n}(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} U_{2n}(x) & =2^{2n}\prod_{k=1}^{2n}\left(x-\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right)\\ & =2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n+1}\right)\\ & =2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\prod_{k=1}^{n}\left(x+\cos\left(\pi-\frac{(2k-1)\pi}{2n+1}\right)\right)\\ & =2^{2n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\prod_{k=1}^{n}\left(x+\cos\left(\frac{2(n-k+1)\pi}{2n+1}\right)\right)\\ & =2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x+\cos\frac{2k\pi}{2n+1}\right)\\ & =(-1)^{n}2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\frac{k\pi}{n+\frac{1}{2}}\right)2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(-x-\cos\frac{k\pi}{n+\frac{1}{2}}\right)\\ & =(-1)^{n}W_{n}(x)W_{n}(-x) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 第2種チェビシェフ多項式の因数分解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/m21yfsul/ |
| SNSボタン |
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[
V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}
\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}
\]
チェビシェフの微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0
\]
チェビシェフ多項式の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}T_{k}(x)t^{k}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^{2}}
\]