ガンマ関数

ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数

by nomura · 2020年12月7日

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ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数

(1)

\log Γ (x + 1) = - γ x + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} ζ (k)}{k} x^{k}

(2)

γ = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} ζ (k)}{k}

-

(

Γ (x)

はガンマ関数、

γ

はオイラー・マスケローニ定数、

ζ (x)

はリーマン・ゼータ関数)

(1)

\begin{aligned} \log Γ (x + 1) & = \int_{0}^{x} \frac{d}{d x} \log Γ (x + 1) d x \\ = \int_{0}^{x} ψ (x + 1) d x \\ = \int_{0}^{x} {- γ + \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} ζ (k + 1) z^{k}} d x (詳細ページ) \\ = - γ x + \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \frac{ζ (k + 1)}{k + 1} z^{k + 1} \\ = - γ x + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} ζ (k)}{k} x^{k} \end{aligned}

(1)-2

\begin{aligned} \log Γ (x + 1) & = \log (x Γ (x)) \\ = \log x + \log Γ (x) \\ = \log x - \log (x e^{γ x} \prod_{k = 1}^{\infty} (1 + \frac{x}{k}) e^{- \frac{x}{k}}) \\ = \log x - (\log x + γ x + \sum_{k = 1}^{\infty} \log (1 + \frac{x}{k}) - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x}{k}) \\ = \log x - (\log x + γ x + \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{j + 1}}{j} {(\frac{x}{k})}^{j} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x}{k}) \\ = \log x - (\log x + γ x + \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{j + 1}}{j} {(\frac{x}{k})}^{j}) \\ = \log x - (\log x + γ x + \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{j + 1}}{j} x^{j} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{j}}) \\ = \log x - (\log x + γ x + \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{j + 1}}{j} x^{j} ζ (j)) \\ = - γ x + \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{j} ζ (j)}{j} x^{j} \end{aligned}

(2)

\begin{aligned} γ & = {[γ x]}_{x = 1} \\ = {[- \log Γ (1 + x) + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} ζ (k)}{k} x^{k}]}_{x = 1} \\ = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} ζ (k)}{k} \end{aligned}

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タイトル	ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
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ガンマ関数の無限乗積

Γ (x) = lim_{n \to \infty} n^{x} n! Q^{- 1} (x, n + 1)

ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示・テイラー展開と調和数・一般化調和数

ψ (z) = - γ + H_{z - 1}

階乗と階乗の逆数の母関数

\frac{x^{a}}{a!} = e^{x} (\frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} - \frac{Γ (a, x)}{Γ (a)})

ガンマ関数を含む極限

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \frac{Γ (n)}{Γ (n + \frac{1}{2})} = 1