微分の基本公式
微分の基本公式
\(a,b\)は定数とする。
\(a,b\)は定数とする。
(1)定数倍
\[ \left(af(x)\right)'=af'(x) \](2)和と差の微分
\[ \left(f(x)\pm g(x)\right)'=f'(x)\pm g'(x) \](3)線形性
\[ \left(af(x)\pm bg(x)\right)'=af'(x)\pm bg'(x) \](4)積の微分
\[ \left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \](5)商の微分
\[ \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)'=\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f^{2}(x)} \](6)逆数の微分
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)'=-\frac{f'(x)}{f^{2}(x)} \](1)
\begin{align*} \left(af(x)\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{af(x+\Delta x)-af(x)}{\Delta x}\\ & =a\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ & =af'(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(f(x)\pm g(x)\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left\{ f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x)\right\} -\left\{ f(x)\pm g(x)\right\} }{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left\{ f(x+\Delta x)-f(x)\right\} \pm\left\{ g(x+\Delta x)-g(x)\right\} }{\Delta x}\\ & \lim_{\Delta x\rightarrow0}\left\{ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\pm\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right\} \\ & =f'(x)\pm g'(x) \end{align*}(3)
\begin{align*} \left(af(x)\pm bg(x)\right)' & =\left(af(x)\right)'\pm\left(bg(x)\right)'\\ & =af'(x)\pm bg'(x) \end{align*}(4)
\begin{align*} \left(f(x)g(x)\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)\\ & =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align*}(5)
\begin{align*} \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{g(x+\Delta x)}{f(x+\Delta x)}-\frac{g(x)}{f(x)}\right)\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta xf(x+\Delta x)f(x)}\left(g(x+\Delta x)f(x)-g(x)f(x+\Delta x)\right)\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta xf(x+\Delta x)f(x)}\left(g(x+\Delta x)f(x)-g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x+\Delta x)\right)\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{f(x+\Delta x)f(x)}\left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}f(x)-g(x)\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)\\ & =\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f^{2}(x)} \end{align*}(6)
\begin{align*} \left(\frac{1}{f(x)}\right)' & =\frac{(1)'f(x)-1f'(x)}{f^{2}(x)}\\ & =-\frac{f'(x)}{f^{2}(x)} \end{align*}ページ情報
タイトル | 微分の基本公式 |
URL | https://www.nomuramath.com/mg5vb457/ |
SNSボタン |
部分積分と繰り返し部分積分
\[
\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx
\]
ルートの中に2乗を含む積分
\[
\int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)dx=a\int f\left(a\cos t\right)\cos tdt\cnd{x=a\sin t}
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]
微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]