順序対の定義
順序対の定義
\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
(1)順序対
2つの対象\(a,b\)を順番も考慮し組にしたものを順序対といい、\(a,b\)の順に指定するなら\(\left(a,b\right)\)と表記する。\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
(2)順序対の定義
ハウスドルフの定義\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
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対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0
\]
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]
ハイネ・カントールの定理
有界閉区間上で関数が連続ならば一様連続である。