順序対の定義
順序対の定義
\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
(1)順序対
2つの対象\(a,b\)を順番も考慮し組にしたものを順序対といい、\(a,b\)の順に指定するなら\(\left(a,b\right)\)と表記する。\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
(2)順序対の定義
ハウスドルフの定義\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
ページ情報
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ノルム空間(ノルム線形空間)と半ノルム空間(半ノルム線形空間)の定義
\[
\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)
\]
ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式
\[
\exists\phi\in V^{*},\forall\boldsymbol{x}\in V,\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0\Leftrightarrow\phi=0_{V^{*}}
\]
双対写像の性質
線形写像$f$の表現行列が$A$ならば、双対写像$f^{*}$の表現行列は転置行列$A^{T}$となる。
双対写像の定義
\[
f^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*},\phi\mapsto f^{*}\left(\phi\right)=\phi\circ f
\]