実数の上限・下限の別定義

by nomura · 2023年9月20日

実数の上限・下限の別定義

(1)実数の上限

実数$\mathbb{R}$の空でない部分集合$A$が上に有界であり、次の2条件を満たすことと、$a\in\mathbb{R}$が$a=\sup A$となることは同値である。

(a)

\[ \forall b\in A,b\leq a \]

(b)

\[ \forall\epsilon>0,\exists b\in A,a-\epsilon<b \]

-

$A$が上に有界でないとき、すなわち$\forall M\in\mathbb{R},\exists a\in A,M\leq a$となるとき$\sup A=\infty$と定める。
また$\forall M\in\mathbb{R},\forall a\in A,a\leq M$となるとき、$\sup A=-\infty$と定める。
空集合$\emptyset$に対する上限は$\sup\emptyset=-\infty$と定めることが多い。

(2)実数の下限

実数$\mathbb{R}$の空でない部分集合$A$が下に有界であり、次の2条件を満たすことと、$a\in\mathbb{R}$が$a=\inf A$となることは同値である。

(a)

\[ \forall b\in A,b\geq a \]

(b)

\[ \forall\epsilon>0,\exists b\in A,a+\epsilon>b \]

-

$A$が下に有界でないとき、すなわち$\forall M\in\mathbb{R},\exists a\in A,a\leq M$となるとき$\inf A=-\infty$と定める。
また$\forall M\in\mathbb{R},\forall a\in A,M\leq a$となるとき、$\inf A=\infty$と定める。
空集合$\emptyset$に対する下限は$\inf\emptyset=\infty$と定めることが多い。

(1)

$\Rightarrow$

(a)が成り立っているときは$a$は$A$の上界となる。
(b)が成り立っているときに$A$の上界の最小値が$a$でないと仮定する。
そうすると、$a$より小さい$A$の上界$p$が存在し、$p=a-\epsilon$となる。
このとき(b)より、ある$b\in A$が存在し、$p=a-\epsilon<b$となるので、$p$より大きい$b\in A$が存在するので$p$は$A$の上界ではないので矛盾。
これより、仮定が間違いなので$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

$\sup A$は$A$の上界なので、(a)を満たす。
また、$\sup A$は$A$の上界の最小値なので、任意の$\epsilon>0$に対し、$\sup A-\epsilon$は$A$の上界ではなく、$b=\sup A-\frac{\epsilon}{2}$ととれば$b\in A$で$\sup A-\epsilon<\sup A-\frac{\epsilon}{2}=b$となるので(b)を満たす。
これより、$\Leftarrow$は成り立つ。

-

故に$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$となる。

(2)

(1)と同様にすればいい。