実数の上限・下限の別定義

(1)実数の上限

実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であり、次の2条件を満たすことと、\(a\in\mathbb{R}\)が\(a=\sup A\)となることは同値である。

(a)

\[ \forall b\in A,b\leq a \]

(b)

\[ \forall\epsilon>0,\exists b\in A,a-\epsilon<b \]

-

\(A\)が上に有界でないとき、すなわち\(\forall M\in\mathbb{R},\exists a\in A,M\leq a\)となるとき\(\sup A=\infty\)と定める。
また\(\forall M\in\mathbb{R},\forall a\in A,a\leq M\)となるとき、\(\sup A=-\infty\)と定める。
空集合\(\emptyset\)に対する上限は\(\sup\emptyset=-\infty\)と定めることが多い。

(2)実数の下限

実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であり、次の2条件を満たすことと、\(a\in\mathbb{R}\)が\(a=\inf A\)となることは同値である。

(a)

\[ \forall b\in A,b\geq a \]

(b)

\[ \forall\epsilon>0,\exists b\in A,a+\epsilon>b \]

-

\(A\)が下に有界でないとき、すなわち\(\forall M\in\mathbb{R},\exists a\in A,a\leq M\)となるとき\(\inf A=-\infty\)と定める。
また\(\forall M\in\mathbb{R},\forall a\in A,M\leq a\)となるとき、\(\inf A=\infty\)と定める。
空集合\(\emptyset\)に対する下限は\(\inf\emptyset=\infty\)と定めることが多い。