実数の上限・下限の別定義

by nomura · 2023年9月20日

実数の上限・下限の別定義

(1)実数の上限

実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であり、次の2条件を満たすことと、\(a\in\mathbb{R}\)が\(a=\sup A\)となることは同値である。

(a)

\[ \forall b\in A,b\leq a \]

(b)

\[ \forall\epsilon>0,\exists b\in A,a-\epsilon<b \]

-

\(A\)が上に有界でないとき、すなわち\(\forall M\in\mathbb{R},\exists a\in A,M\leq a\)となるとき\(\sup A=\infty\)と定める。
また\(\forall M\in\mathbb{R},\forall a\in A,a\leq M\)となるとき、\(\sup A=-\infty\)と定める。
空集合\(\emptyset\)に対する上限は\(\sup\emptyset=-\infty\)と定めることが多い。

(2)実数の下限

実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であり、次の2条件を満たすことと、\(a\in\mathbb{R}\)が\(a=\inf A\)となることは同値である。

(a)

\[ \forall b\in A,b\geq a \]

(b)

\[ \forall\epsilon>0,\exists b\in A,a+\epsilon>b \]

-

\(A\)が下に有界でないとき、すなわち\(\forall M\in\mathbb{R},\exists a\in A,a\leq M\)となるとき\(\inf A=-\infty\)と定める。
また\(\forall M\in\mathbb{R},\forall a\in A,M\leq a\)となるとき、\(\inf A=\infty\)と定める。
空集合\(\emptyset\)に対する下限は\(\inf\emptyset=\infty\)と定めることが多い。

(1)

\(\Rightarrow\)

(a)が成り立っているときは\(a\)は\(A\)の上界となる。
(b)が成り立っているときに\(A\)の上界の最小値が\(a\)でないと仮定する。
そうすると、\(a\)より小さい\(A\)の上界\(p\)が存在し、\(p=a-\epsilon\)となる。
このとき(b)より、ある\(b\in A\)が存在し、\(p=a-\epsilon<b\)となるので、\(p\)より大きい\(b\in A\)が存在するので\(p\)は\(A\)の上界ではないので矛盾。
これより、仮定が間違いなので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\sup A\)は\(A\)の上界なので、(a)を満たす。
また、\(\sup A\)は\(A\)の上界の最小値なので、任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(\sup A-\epsilon\)は\(A\)の上界ではなく、\(b=\sup A-\frac{\epsilon}{2}\)ととれば\(b\in A\)で\(\sup A-\epsilon<\sup A-\frac{\epsilon}{2}=b\)となるので(b)を満たす。
これより、\(\Leftarrow\)は成り立つ。

-

故に\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。

(2)

(1)と同様にすればいい。