ベルヌーイ数の定義より、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k-1}}{\left(2k-1\right)!}x^{2k-1} & =-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\left(-1\right)^{k}-1\right)\frac{B_{k}}{k!}x^{k}\\ & =-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}\left(\left(-x\right)^{k}-x^{k}\right)\\ & =-\frac{1}{2}\left(\frac{-x}{e^{-x}-1}-\frac{x}{e^{x}-1}\right)\\ & =-\frac{1}{2}\left(\frac{-xe^{x}}{1-e^{x}}-\frac{x}{e^{x}-1}\right)\\ & =-\frac{1}{2}\left(\frac{xe^{x}}{e^{x}-1}-\frac{x}{e^{x}-1}\right)\\ & =-\frac{1}{2}\cdot\frac{x\left(e^{x}-1\right)}{e^{x}-1}\\ & =-\frac{1}{2}x\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}-\frac{1}{2}\delta_{1,k}x^{2k-1} \end{align*} となるので、両辺を比較して、
\begin{align*} B_{2k-1} & =-\frac{1}{2}\left(2k-1\right)!\delta_{1,k}\\ & =-\frac{1}{2}\delta_{1,k} \end{align*} となり、与式は成り立つ。