ヘロンの公式
ヘロンの公式
3角形\(ABC\)があり、頂点\(A,B,C\)の対辺の長さが\(a,b,c\)であるとき面積\(S\)は
\[ S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \] \[ s=\frac{a+b+c}{2} \] となる。
\(s\)は半周長である。

3角形\(ABC\)があり、頂点\(A,B,C\)の対辺の長さが\(a,b,c\)であるとき面積\(S\)は
\[ S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \] \[ s=\frac{a+b+c}{2} \] となる。
\(s\)は半周長である。
\(\triangle ABC\)で頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)とする。
\begin{align*} S & =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\left|\sin\left(\angle BCA\right)\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\cos^{2}\left(\angle BCA\right)}\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\left(\frac{\left|AC\right|^{2}+\left|CB\right|^{2}-\left|AB\right|^{2}}{2\left|AC\right|\left|CB\right|}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{\left(1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(\left(a+b\right)^{2}-c^{2}\right)\left(\left(a-b\right)^{2}-c^{2}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2b\right)\left(a+b+c-2c\right)}\\ & =\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \end{align*}
\begin{align*} S & =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\left|\sin\left(\angle BCA\right)\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\cos^{2}\left(\angle BCA\right)}\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\left(\frac{\left|AC\right|^{2}+\left|CB\right|^{2}-\left|AB\right|^{2}}{2\left|AC\right|\left|CB\right|}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{\left(1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(\left(a+b\right)^{2}-c^{2}\right)\left(\left(a-b\right)^{2}-c^{2}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2b\right)\left(a+b+c-2c\right)}\\ & =\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \end{align*}
ページ情報
タイトル | ヘロンの公式 |
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4角形の対角線と面積の関係
\[
S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
正弦定理
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]
3点を通る円
\[
\det\left(\begin{array}{cccc}
x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\
x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1\\
x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1
\end{array}\right)=0
\]