ヘロンの公式
ヘロンの公式
3角形\(ABC\)があり、頂点\(A,B,C\)の対辺の長さが\(a,b,c\)であるとき面積\(S\)は
\[ S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \] \[ s=\frac{a+b+c}{2} \] となる。
\(s\)は半周長である。
3角形\(ABC\)があり、頂点\(A,B,C\)の対辺の長さが\(a,b,c\)であるとき面積\(S\)は
\[ S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \] \[ s=\frac{a+b+c}{2} \] となる。
\(s\)は半周長である。
\(\triangle ABC\)で頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)とする。
\begin{align*} S & =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\left|\sin\left(\angle BCA\right)\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\cos^{2}\left(\angle BCA\right)}\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\left(\frac{\left|AC\right|^{2}+\left|CB\right|^{2}-\left|AB\right|^{2}}{2\left|AC\right|\left|CB\right|}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{\left(1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(\left(a+b\right)^{2}-c^{2}\right)\left(\left(a-b\right)^{2}-c^{2}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2b\right)\left(a+b+c-2c\right)}\\ & =\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \end{align*}
\begin{align*} S & =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\left|\sin\left(\angle BCA\right)\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\cos^{2}\left(\angle BCA\right)}\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|CB\right|\sqrt{1-\left(\frac{\left|AC\right|^{2}+\left|CB\right|^{2}-\left|AB\right|^{2}}{2\left|AC\right|\left|CB\right|}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{\left(1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(\left(a+b\right)^{2}-c^{2}\right)\left(\left(a-b\right)^{2}-c^{2}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2b\right)\left(a+b+c-2c\right)}\\ & =\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)} \end{align*}
ページ情報
タイトル | ヘロンの公式 |
URL | https://www.nomuramath.com/np2246wt/ |
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正弦定理
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]
4角形が円に外接するときの対辺の和
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right|
\]
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]
5心(重心・垂心・内心・外心・傍心)の位置
\[
\boldsymbol{H}=\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A\tan B\tan C}
\]