(1)

\begin{align*} \rho(X,Y) & =\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\\ & =\frac{\sigma_{YX}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\\ & =\rho(Y,X) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \rho(X,aY+b) & =\frac{\sigma(X,aY+b)}{\sigma(X)\sigma(aY+b)}\\ & =\frac{a\sigma(X,Y)}{a\sigma(X)\sigma(Y)}\\ & =\rho(X,Y) \end{align*}

(3)

\(a_{i}=x_{i}-E(X)\quad,\quad b_{i}=y_{i}-E(Y)\)とおくと、
\begin{align*} \rho^{2} & =\frac{\sigma_{XY}{}^{2}}{\sigma_{XX}\sigma_{YY}}\\ & =\frac{E^{2}\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right)}{E\left(\left(X-E(X)\right)^{2}\right)E\left(\left(Y-E(Y)\right)^{2}\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{n^{2}}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}{}^{2}\right)\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}b_{i}{}^{2}\right)}\\ & =\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}{\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}{}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}{}^{2}\right)}\\ & \leq1\qquad,\qquad\text{コーシー・シュワルツの不等式} \end{align*} より、
\[ -1\leq\rho\leq1 \] となる。
等号成立条件はコーシー・シュワルツの不等式より任意の\(i\)について\(a_{i}=tb_{i}\)となる\(t\)が存在するときである。
これより、\(y_{i}=tx_{i}-tE(x)+E(Y)\)となるので全ての\(y_{i}\)と\(x_{i}\)が直線上にあるときである。