上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和

by nomura · 2023年12月21日

上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\),\(\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。

(1)上限

\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]

(2)下限

\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) \]

(3)最大元

\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\)が存在するとする。
\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]

(4)最小元

\(\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n},\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\)が存在するとする。
\[ \min_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) \]

(5)上極限

\[ \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\limsup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \]

(6)下極限

\[ \liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\liminf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\leq\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) \]

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(1)で等号が成り立たない例
\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=\delta_{2,n}\)とすると、\(a_{n}+b_{n}=\delta_{1,n}+\delta_{2,n}\)となるので\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}+\delta_{2,n}\right)=1\)となる。
これより、\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}+\delta_{2,n}\right)=1<2=\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となり等号が成り立たない。

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(1)で等号が成り立たない例
\(a_{n}=\left(-1\right)^{n},b_{n}=\left(-1\right)^{n+1}\)とすると、
\begin{align*} \sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n} & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-1\right)^{n}\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} \sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-1\right)^{n+1}\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\{ \left(-1\right)^{n}+\left(-1\right)^{n+1}\right\} \\ & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\{ \left(-1\right)^{n}-\left(-1\right)^{n}\right\} \\ & =\sup_{n\in\mathbb{N}}0\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=0<2=\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となり等号が成り立たない。

\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)が存在しても\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\)が存在するとは限らない。
例えば
\[ a_{n}=\begin{cases} 1 & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] \[ b_{n}=\begin{cases} 0 & n=1\\ 1 & n=2\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq3 \end{cases} \] とすると、
\[ a_{n}+b_{n}=\begin{cases} 1 & n=1\\ \frac{3}{2} & n=2\\ 2-\frac{2}{n} & n\geq3 \end{cases} \] となるので、\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\)は存在しない。

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\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+b_{n}\)が存在しても\(\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)が存在するとは限らない。
例えば
\[ a_{n}=\begin{cases} 2 & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] \[ b_{n}=\begin{cases} \frac{1}{2} & n=1\\ 1-\frac{1}{n} & n\geq2 \end{cases} \] とすると、
\[ a_{n}+b_{n}=\begin{cases} \frac{5}{2} & n=1\\ 2-\frac{2}{n} & n\geq2 \end{cases} \] となるので\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=2,\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\frac{5}{2}\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)は存在しない。

(1)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
これより、
\[ a_{k}+b_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \] となるので、
\begin{align*} \sup_{k\in\mathbb{N}}\left(a_{k}+b_{k}\right) & \leq\sup_{k\in\mathbb{N}}\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\\ & =\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\geq\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\geq\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
ここから(1)と同様にすればいい。

(3)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
これより、
\[ a_{k}+b_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \] となるので、
\begin{align*} \max_{k\in\mathbb{N}}\left(a_{k}+b_{k}\right) & \leq\max_{k\in\mathbb{N}}\left(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\max_{k\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\\ & =\max_{k\in\mathbb{N}}a_{n}+\max_{k\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(4)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\geq\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\geq\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
ここから(3)と同様にすればいい。

(5)

(1)より、
\begin{align*} \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(a_{k}+b_{k}\right)\\ & \leq\lim_{n\in\mathbb{N}}\left(\sup_{k\geq n}a_{k}+\sup_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\limsup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)

(2)より、
\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(a_{k}+b_{k}\right)\\ & \geq\lim_{n\in\mathbb{N}}\left(\inf_{k\geq n}a_{k}+\inf_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\liminf_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)-2

(5)より、
\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =-\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\left(a_{n}+b_{n}\right)\right)\\ & \geq-\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)-\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(-b_{n}\right)\\ & =\liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\liminf_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

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タイトル	上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
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