オイラーのトーシェント関数の定義
オイラーのトーシェント関数
自然数\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(n\)と互いに素である1以上\(n\)以下の個数をオイラーのトーシェント関数といい、\(\phi\left(n\right)\)で表す。
\begin{align*} \phi\left(n\right) & =\left|\left\{ k\in\mathbb{N};k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1\right\} \right|\\ & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd(k,n)=1}1\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 \end{align*}
自然数\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(n\)と互いに素である1以上\(n\)以下の個数をオイラーのトーシェント関数といい、\(\phi\left(n\right)\)で表す。
\begin{align*} \phi\left(n\right) & =\left|\left\{ k\in\mathbb{N};k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1\right\} \right|\\ & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd(k,n)=1}1\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 \end{align*}
\[
\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd(k,n)=1}1=\sum_{a\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(a,n\right)=1}1
\]
となることを示す。
\begin{align*} \sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & =\begin{cases} \sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n\in\left\{ 2,3,\cdots\right\} \\ 1+\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n=1 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n\in\left\{ 2,3,\cdots\right\} \\ \sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n=1 \end{cases}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 \end{align*}
\begin{align*} \sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & =\begin{cases} \sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n\in\left\{ 2,3,\cdots\right\} \\ 1+\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n-1\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n=1 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n\in\left\{ 2,3,\cdots\right\} \\ \sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 & n=1 \end{cases}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\gcd\left(k,n\right)=1}1 \end{align*}
ページ情報
| タイトル | オイラーのトーシェント関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ns6xjj09/ |
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オイラーのトーシェント関数の性質
\[
\phi(p^{n})=p^{n}-p^{n-1}
\]
二元不定方程式が整数解を持つ
\[
ax+by=c\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow c\text{は}\gcd(a,b)\text{の倍数}
\]
(*)原始根定理
\[
\varphi(p-1)
\]
完全剰余系の基本定理
\[
1a,2a,3a,\cdots\cdots,na
\]