\(\Rightarrow\)

\(A\)の元からなる収束列\(\left(a_{n}\in A\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の極限\(a\)は\(A\)の触点になるので\(a\in A^{a}\)となる。
また、条件より、\(A\)は閉集合なので\(A=A^{a}\)となる。
従って\(a\in A^{a}=A\)となる。
故に\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(X\)は第1可算を満たすので\(A^{a}\)の任意の点\(a\in A^{a}\)に対し、高々可算濃度の\(a\)の基本近傍系\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ B_{a,n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が存在する。
このとき、\(a_{n}\)を\(a_{n}\in B_{a,n}\cap A\)となるようにとると、\(a_{n}\in A\)なので条件より、\(a\in A\)となる。
従って\(A^{a}\subseteq A\)となるので、\(A^{a}\supseteq A\)でもあるので\(A^{a}=A\)となるので\(A\)は閉集合となる。
故に\(\Leftarrow\)は成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。