関数方程式の問題

\[ y=\frac{x-3}{x+1} \] とおき\(x\)について解くと、
\[ x=-\frac{y+3}{y-1} \] となり、与式に代入すると、
\[ f\left(y\right)+f\left(\frac{-\frac{y+3}{y-1}+3}{1+\frac{y+3}{y-1}}\right)=-\frac{y+3}{y-1} \] 整理すると、
\[ f\left(y\right)+f\left(\frac{-y-3+3y-3}{y-1+y+3}\right)=-\frac{y+3}{y-1} \] \[ f\left(y\right)+f\left(\frac{2y-6}{2y+2}\right)=-\frac{y+3}{y-1} \] \[ f\left(y\right)+f\left(\frac{y-3}{y+1}\right)=-\frac{y+3}{y-1} \] となる。
また、
\[ y=\frac{x+3}{1-x} \] とおくと、
\[ x=\frac{y-3}{y+1} \] となり、与式に代入すると、
\[ f\left(\frac{\frac{y-3}{y+1}-3}{\frac{y-3}{y+1}+1}\right)+f\left(y\right)=\frac{y-3}{y+1} \] 整理すると、
\[ f\left(\frac{y-3-3y-3}{y-3+y+1}\right)+f\left(y\right)=\frac{y-3}{y+1} \] \[ f\left(\frac{-2y-6}{2y-2}\right)+f\left(y\right)=\frac{y-3}{y+1} \] \[ f\left(\frac{y+3}{1-y}\right)+f\left(y\right)=\frac{y-3}{y+1} \] となる。
まとめると、
\[ \begin{cases} f\left(y\right)+f\left(\frac{y-3}{y+1}\right)=-\frac{y+3}{y-1}\\ f\left(\frac{y+3}{1-y}\right)+f\left(y\right)=\frac{y-3}{y+1} \end{cases} \] となる。
辺々足すと、
\[ 2f\left(y\right)+f\left(\frac{y-3}{y+1}\right)+f\left(\frac{y+3}{1-y}\right)=-\frac{y+3}{y-1}+\frac{y-3}{y+1} \] となり、
\[ 2f\left(y\right)+y=-\frac{y+3}{y-1}+\frac{y-3}{y+1} \] となるので
\begin{align*} f\left(y\right) & =\frac{1}{2}\left(-\frac{y+3}{y-1}+\frac{y-3}{y+1}-y\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{y+3}{1-y}+\frac{y-3}{1+y}-y\right)\\ & =\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(y+3\right)\left(1+y\right)+\left(y-3\right)\left(1-y\right)-\left(1-y^{2}\right)y}{\left(1-y\right)\left(1+y\right)}\\ & =\frac{1}{2}\cdot\frac{y^{3}+7y}{1-y^{2}}\\ & =\frac{y^{3}+7y}{2-2y^{2}} \end{align*} となるので、\(y\rightarrow x\)として、
\[ f\left(x\right)=\frac{x^{3}+7x}{2-2x^{2}} \] となる。