母関数の逆演算
母関数の逆演算
\[ G\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
\[ G_{E}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G_{E}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
\[ G_{P}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}e^{-z}\frac{z^{k}}{k!} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}G_{P}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(1)通常型母関数
通常型母関数を\[ G\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(2)指数型母関数
指数型母関数を\[ G_{E}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}z^{k} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G_{E}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(3)ポアソン母関数
ポアソン母関数を\[ G_{P}\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}e^{-z}\frac{z^{k}}{k!} \] とすると、
\[ a_{n}=\left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}G_{P}\left(z\right)\right]_{z=0} \] となる。
(1)
\begin{align*} \frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0} & =\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =a_{k}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =a_{k}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}k!\delta_{n,k}\\ & =a_{k} \end{align*} より題意は成り立つ。(2)
\begin{align*} \left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G_{E}\left(z\right)\right]_{z=0} & =\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}k!\delta_{n,k}\\ & =a_{n} \end{align*} より題意は成り立つ。(3)
\begin{align*} \left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}G_{P}\left(z\right)\right]_{z=0} & =\left[n!\frac{d^{n}}{dz^{n}}e^{z}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}e^{-z}\frac{z^{k}}{k!}\right]_{z=0}\\ & =n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}z^{k}\right]_{z=0}\\ & =n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}\delta_{n,k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\delta_{n,k}\\ & =a_{n} \end{align*} より題意は成り立つ。ページ情報
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エジプト式分数の個数
エジプト式分数は無数に存在する。
凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right)
\]
分母に1次式がある方程式の厳密解
\[
\frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases}
x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\
x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\
x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\
x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right)
\end{cases}
\]
エジプト式分数表示
任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。