円に内接する4角形の余弦
円に内接する4角形の余弦
円に内接する4角形\(ABCD\)があるとき、余弦\(\cos A\)は
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。

円に内接する4角形\(ABCD\)があるとき、余弦\(\cos A\)は
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
3角形\(DAB\)についての余弦定理より、
\[ \left|BD\right|^{2}=\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A \] となり、4角形\(ABCD\)は円に内接しているので\(A+C=\pi\)となるので3角形\(BCD\)についての余弦定理より、
\begin{align*} \left|DB\right|^{2} & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos\left(\pi-A\right)\cmt{\because A+C=\pi}\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos A \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A=\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C \] となるので移項をすると、
\begin{align*} \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2} & =2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =2\cos A\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right) \end{align*} となるので、
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
従って題意は成り立つ。
\[ \left|BD\right|^{2}=\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A \] となり、4角形\(ABCD\)は円に内接しているので\(A+C=\pi\)となるので3角形\(BCD\)についての余弦定理より、
\begin{align*} \left|DB\right|^{2} & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}-2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos\left(\pi-A\right)\cmt{\because A+C=\pi}\\ & =\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos A \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A=\left|BC\right|^{2}+\left|CD\right|^{2}+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C \] となるので移項をすると、
\begin{align*} \left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2} & =2\left|DA\right|\left|AB\right|\cos A+2\left|BC\right|\left|CD\right|\cos C\\ & =2\cos A\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right) \end{align*} となるので、
\[ \cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)} \] となる。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
タイトル | 円に内接する4角形の余弦 |
URL | https://www.nomuramath.com/o4fg19q9/ |
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多角形での内接円の半径
\[
r=\frac{S}{s}
\]
鋭角・直角・鈍角と鋭角3角形・直角3角形・鈍角3角形の定義と性質
$0^{\circ}$より大きく$90^{\circ}$より小さい角を鋭角という。
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
3角形上での3角関数
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
\]