論理演算同士の関係
論理演算同士の関係
\(P,Q\)を命題変数とする。
\(P,Q\)を命題変数とする。
(1)
\begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow\lnot P\downarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftarrow Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\uparrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\leftarrow Q\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\downarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nrightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nleftarrow\lnot Q\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} P\leftarrow Q & \Leftrightarrow P\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow\lnot Q\right) \end{align*}(5)
\begin{align*} P\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftrightarrow Q \end{align*}(6)
\begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\uparrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftarrow\lnot Q\right) \end{align*}(7)
\begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftarrow Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\downarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nrightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nleftarrow Q\right) \end{align*}(8)
\begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\downarrow Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\uparrow\lnot Q\right) \end{align*}(9)
\begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow P\downarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\rightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\uparrow Q\right) \end{align*}(10)
\begin{align*} P\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\nleftrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow Q \end{align*}(1)
\begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\right)\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q \end{align*} \begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nleftarrow Q\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\downarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow P\land\lnot\left(\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\right)\land Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftarrow Q \end{align*} \begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\uparrow Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\land Q & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\leftarrow Q\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\begin{cases} 1 & \left(P\leftrightarrow0\right)\lor\left(Q\leftrightarrow1\right)\\ 0 & \left(P\leftrightarrow1\right)\land\left(Q\leftrightarrow0\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 1 & \left(P\leftrightarrow0\right)\lor\left(Q\leftrightarrow1\right)\\ 0 & \lnot\left\{ \left(P\leftrightarrow0\right)\lor\left(Q\leftrightarrow1\right)\right\} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 1 & \lnot P\lor Q\\ 0 & \lnot\left(\lnot P\lor Q\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(\lnot P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(\lnot P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\downarrow Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nrightarrow Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nleftarrow\lnot Q\right) \end{align*}(4)
(3)で\(P\)と\(Q\)を入れ替えればいい(5)
\begin{align*} P\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right)\land\left(\lnot P\rightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\nrightarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow Q\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land Q\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftrightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftrightarrow Q \end{align*}(5)-2
\begin{align*} P\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(\lnot P\right)\land\left(\lnot Q\right)\right)\lor\left(\lnot\left(\lnot P\right)\land\lnot\left(\lnot Q\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\land\lnot\left(\lnot Q\right)\right)\lor\left(\lnot P\land\left(\lnot Q\right)\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\lnot Q \end{align*}(6)
\begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\uparrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nrightarrow Q \end{align*} \begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\nleftarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\uparrow\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \lnot\left(\lnot P\right)\lor Q\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\rightarrow Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\lor\lnot\left(\lnot Q\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\leftarrow Q\right) \end{align*}(7)
\begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\downarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nrightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nleftarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftarrow Q \end{align*} \begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\uparrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(\lnot P\lor\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\downarrow\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nrightarrow\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nleftarrow Q\right) \end{align*}(8)
\begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\downarrow Q \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\uparrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\land\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\lnot\left(P\nrightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\rightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \end{align*} \begin{align*} P\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\lor Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\uparrow\lnot Q\right) \end{align*}(9)
(8)で\(P\)と\(Q\)を入れ替えればいい(10)
(5)より、\begin{align*} P\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\leftrightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot P\nleftrightarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\leftrightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftrightarrow\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\lnot Q \end{align*} \begin{align*} P\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\nleftrightarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\leftrightarrow Q \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 論理演算同士の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/o7ntpsl0/ |
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量化子(全称命題・存在命題)と空集合
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
\[
\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right)
\]
論理演算の基本
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]