距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算公理を満たす。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算公理を満たす。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
任意の\(x\in X\)に対し、\(x\)での基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)を\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)とおけば\(\mathcal{B}_{x}\)は高々可算濃度なので第1可算公理を満たす。故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。上限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)を\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ \left(x-\frac{1}{n},x\right];n\in\mathbb{N}\right\} \)とすれば\(\mathcal{B}_{x}\)は高々可算濃度なので第1可算公理を満たすが、距離化不可能である。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間ならば第1可算公理を満たす |
| URL | https://www.nomuramath.com/od3mdqpb/ |
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完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\[
d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}
\]
離散位相は距離化可能
離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。
一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。