連結空間の閉包・内部
連結空間の閉包・内部
連結空間の閉包・内部について次が成り立つ。
\(A^{i}\)は\(A\)の内部
=連結空間の閉包・内部について次が成り立つ。
(1)閉包
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の部分集合\(A\subseteq X\)が連結ならば\(A\subseteq B\subseteq A^{a}\)を満たす部分集合\(B\)も連結になる。(2)内部
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の部分集合\(A\subseteq X\)が連結でも\(A^{i}\)も連結とは限らない。-
\(A^{a}\)は\(A\)の閉包\(A^{i}\)は\(A\)の内部
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\(A\)が連結でないならば\(A^{a}\)も連結でないとは限らない。反例は通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)で\(\left(0,1\right)\cup\left(1,2\right)\)は連結ではないが、\(\left(\left(0,1\right)\cup\left(1,2\right)\right)^{a}=\left[0,2\right]\)は連結となる。
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\(A\)が連結でないならば\(A^{i}\)も連結でないとは限らない。反例は通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)で\(\left(0,1\right)\cup\left\{ 2\right\} \)は連結ではないが、\(\left(\left(0,1\right)\cup\left\{ 2\right\} \right)^{i}=\left(0,1\right)\)は連結となる。
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\(A\)が弧状連結であっても\(A^{a}\)が弧状連結であるとは限りません。反例は
\[ \begin{cases} A_{n} & =\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right)\in\mathbb{R}^{2};0<y\leq1\right\} \\ A_{\infty} & =\left\{ \left(0,y\right)\in\mathbb{R}^{2};0<y\leq1\right\} \\ B & =\left\{ \left(x,0\right)\in\mathbb{R}^{2};0<x\leq1\right\} \end{cases} \] とすると、\(A=B\cup\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\) は連結で弧状連結ですが、\(A\)の閉包\(A^{a}=A\cup A_{\infty}\)は連結ですが原点\(\left(0,0\right)\)が含まれていないので弧状連結になりません。
(1)
密着位相\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)で部分集合\(\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a,b,c\right\} \)は連結であるので、\(\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a\right\} ^{a}=\left\{ a,b,c\right\} \)より\(\left\{ a,b\right\} \)は連結となる。(2)
通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)で部分集合\(\left(0,1\right)\subseteq\mathbb{R}\)は連結であるので、\(\left(0,1\right)\subseteq\left[0,1\right)\subseteq\left(0,1\right)^{a}=\left[0,1\right]\)より\(\left[0,1\right)\)は連結となる。(1)
背理法で示す。\(A\)は連結であるが\(B\)は非連結であると仮定する。
このとき、\(B\)は非連結なのである\(S,T\in\mathcal{O}\)が存在し
\[ B\subseteq S\cup T\land B\cap S\cap T=\emptyset\land B\cap S\ne\emptyset\land B\cap T\ne\emptyset \] となるが、\(A\subseteq B\)なので\(A\subseteq S\cup T\land A\cap S\cap T=\emptyset\)となる。
これより、\(A\)は連結であるので、
\[ \forall O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},A\supsetneq O_{1}\cup O_{2}\lor A\cap O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\lor A\cap O_{1}=\emptyset\lor A\cap O_{2}=\emptyset \] となるが、開集合である\(S,T\)については\(A\subseteq S\cup T\land A\cap S\cap T=\emptyset\)なので
\[ A\cap S=\emptyset\lor A\cap T=\emptyset \] とならなければいけない。
\(A\cap S=\emptyset\)が成り立つとすると、\(A\subseteq S^{c}\)となり\(S^{c}\)は閉集合なので\(A^{a}\subseteq S^{ca}=S^{c}\)となるので\(A^{a}\cap S=\emptyset\)となり、\(B\cap S\ne\emptyset\)に矛盾。
同様に\(A\cap T=\emptyset\)が成り立つとすると矛盾となる。
故に\(B\)は非連結であるという仮定が間違いとなり、\(B\)は連結であることが証明される。
(2)
反例で示す。2次元ユークリッド空間\(\left(\mathbb{R}^{2},\mathcal{O}\right)\)で考える。
\(A=\left\{ \left(x,y\right);\left(x+1\right)^{2}+y^{2}\leq1\lor\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\leq1\right\} \)とすると、\(A\)は連結であるが、\(A^{i}=\left\{ \left(x,y\right);\left(x+1\right)^{2}+y^{2}<1\lor\left(x-1\right)^{2}+y^{2}<1\right\} \)は\(\left\{ \left(x,y\right);\left(x+1\right)^{2}+y^{2}<1\right\} ,\left\{ \left(x,y\right);\left(x-1\right)^{2}+y^{2}<1\right\} \)は共に開集合で、
\[ \left\{ \left(x,y\right);\left(x+1\right)^{2}+y^{2}<1\right\} \cup\left\{ \left(x,y\right);\left(x-1\right)^{2}+y^{2}<1\right\} =A^{i} \] \[ \left\{ \left(x,y\right);\left(x+1\right)^{2}+y^{2}<1\right\} \cap\left\{ \left(x,y\right);\left(x-1\right)^{2}+y^{2}<1\right\} =\emptyset \] となるので連結ではない。
故に\(A\)が連結であっても\(A^{i}\)が連結とは限らない。
ページ情報
| タイトル | 連結空間の閉包・内部 |
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櫛(くし)空間と位相幾何学者の正弦曲線の定義
\[
\begin{cases}
A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\
A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\
B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\}
\end{cases}
\]
連結と非連結の定義
\[
\exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset
\]
有限個の連結・弧状連結な集合の直積は連結・弧状連結
連結成分・弧状連結成分は最大の連結部分集合・弧状連結部分集合