多角形での内接円の半径
多角形での内接円の半径
多角形に内接円が存在するとする。
このとき多角形の面積を\(S\)、半周長を\(s\)、内接円の半径を\(r\)とすると、
\[ r=\frac{S}{s} \] となる。

多角形に内接円が存在するとする。
このとき多角形の面積を\(S\)、半周長を\(s\)、内接円の半径を\(r\)とすると、
\[ r=\frac{S}{s} \] となる。
(0)
\(n\)角形\(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\)の内心を\(I\)、辺\(A_{k}A_{k+1}\)の長さを\(a_{k}\)とする。\(A_{n+1}=A_{1}\)とする。\begin{align*} S & =\left|A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\right|\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|A_{k}A_{k+1}I\right|\\ & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}ra_{k}\\ & =rs \end{align*} これより、
\[ r=\frac{S}{s} \] となる。
(0)-2
3角形の場合\(\triangle ABC\)の内心を\(I\)、頂点\(A,B,C\)の対辺を\(a,b,c\)とする。
\begin{align*} S & =\left|ABC\right|\\ & =\left|ABI\right|+\left|BCI\right|+\left|CAI\right|\\ & =\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br\\ & =\frac{r}{2}\left(a+b+c\right)\\ & =rs \end{align*} これより、
\[ r=\frac{S}{s} \] となる。
ページ情報
タイトル | 多角形での内接円の半径 |
URL | https://www.nomuramath.com/odzxp2bo/ |
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円に内接する4角形の余弦
\[
\cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)}
\]
3点を通る円
\[
x^{2}+y^{2}-\frac{1}{x_{1}y_{2}+y_{1}x_{3}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
x & y & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
y_{2}-y_{3} & y_{3}-y_{1} & y_{1}-y_{2}\\
x_{3}-x_{2} & x_{1}-x_{3} & x_{2}-x_{1}\\
x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3} & y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3} & x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1}^{\;2}+y_{1}^{\;2}\\
x_{2}^{\;2}+y_{2}^{\;2}\\
x_{3}^{\;2}+y_{3}^{\;2}
\end{array}\right)=0
\]
ヘロンの公式
\[
S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}
\]
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]