2乗同士の差が素数のときその差はいくつになる？

by nomura · 2024年2月21日

2乗同士の差が素数のときその差はいくつになる？
自然数$m,n\in\mathbb{N}$として、$m^{2}-n^{2}$が素数のとき、$m-n$を求めよ。

$p=m^{2}-n^{2}$とすると、$p=m^{2}-n^{2}=\left(m+n\right)\left(m-n\right)$となるためには、$\left(m+n\right)$は自然数、$\left(m-n\right)$は整数であるが、とちらかが1でもう片方が$p$でなければいけない。
$n$が自然数より、$m-n<m+n$であり$1<p$なので、$m-n=1,m+n=p$となる。
故に$m-n=1$となる。