e^(ikx)の和
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\begin{align*}
\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} & =\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}\\
& =e^{-inx}\sum_{k=0}^{2n}e^{ikx}\\
& =e^{-inx}\frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}-e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}\\
& =\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | e^(ikx)の和 |
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(*)分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z+\alpha\right)\sqrt{z^{2}+\beta}}dz=\frac{\tanh^{\bullet}\left(\frac{\alpha z-\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}\sqrt{\beta+z^{2}}}\right)}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}}
\]
10位の人を抜かすと何位になる?
終域が2つの写像全体の集合
\[
\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]