e^(ikx)の和
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\[ \sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}} \]
\begin{align*}
\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx} & =\sum_{k=0}^{2n}e^{i(k-n)x}\\
& =e^{-inx}\sum_{k=0}^{2n}e^{ikx}\\
& =e^{-inx}\frac{1-e^{i(2n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-inx}-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\
& =\frac{e^{-i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}-e^{i\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}}\\
& =\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\} }{\sin\frac{x}{2}}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | e^(ikx)の和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ohqhumvt/ |
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転置行列の性質
\[
\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}
\]
固有ベクトルの性質
異なる固有値に属する固有ベクトルは1次独立である。
固有値の性質
\[
\tr\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}
\]
行列の対角化可能性
\[
\text{対角化可能}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n
\]