相補誤差関数と虚数誤差関数の表示

by nomura · 2020年11月20日

相補誤差関数と虚数誤差関数の表示

(1)相補誤差関数

\[ erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}dt \]

(2)虚数誤差関数

\[ erfi(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{s^{2}}ds \]

(1)

\begin{align*} erfc(x) & =1-erf(x)\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}dt-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}dt \end{align*}

(2)

\begin{align*} erfi(x) & =-ierf(ix)\\ & =-i\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{ix}e^{-t^{2}}dt\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{s^{2}}ds\cmt{s=-it} \end{align*}