第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
(1)
\[ V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x) \](2)
\[ W(-x)=(-1)^{n}V_{n}(x) \](3)
\[ W_{n}(\cos t)=U_{2n}\left(\cos\frac{t}{2}\right) \](4)
\[ U_{2n}\left(x\right)=W_{n}(2x^{2}-1) \](1)
\begin{align*} V_{n}(-x) & =\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}(-x)\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}(-x)\right)}\\ & =\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\pi-\cos^{\bullet}x\right)\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\left(\pi-\cos^{\bullet}x\right)\right)}\\ & =\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)\cos\left(-\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)-\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)\sin\left(-\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)\cos\left(-\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)-\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)\sin\left(-\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}\\ & =(-1)^{n}W_{n}(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} W_{n}(-x) & =(-1)^{n}(-1)^{n}W_{n}(-x)\\ & =(-1)^{n}V_{n}(x) \end{align*}(3)
\begin{align*} W_{n}(\cos t) & =\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}t\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\left(2n+1\right)\frac{t}{2}\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\\ & =U_{2n}\left(\cos\frac{t}{2}\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} U_{2n}\left(x\right) & =U_{2n}\left(\cos\frac{t}{2}\right)\qquad,\qquad x=\cos\frac{t}{2}\\ & =W_{n}(\cos t)\\ & =W_{n}(2\cos^{2}\frac{t}{2}-1)\\ & =W_{n}(2x^{2}-1)\\ \end{align*}ページ情報
| タイトル | 第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/onxzeybi/ |
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(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[
T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)
\]
チェビシェフ多項式の漸化式
\[
T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)
\]
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[
T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[
V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)
\]