数列が全てで割り切れる素数

\(a_{1},a_{2}\)を実際に求めてみると、
\begin{align*} a_{1} & =19+2^{4-3}\\ & =21\\ & =3\cdot7 \end{align*} \begin{align*} a_{2} & =19^{2}+\left(-1\right)^{2-1}2^{4\cdot2-3}\\ & =361-2^{5}\\ & =361-32\\ & =329\\ & =7\cdot47 \end{align*} となるので割り切れるとすれば7しかないことが予想出来る。
\(a_{n}\)が7で割り切れることを数学的帰納法により示す。
\(n=1\)のときは\(a_{1}=3\cdot7\)なので成り立つ。
\(n=k\)のとき成り立つと仮定すると、\(n=k+1\)のときは、
\begin{align*} a_{k+1} & =19^{k+1}+\left(-1\right)^{k+1-1}2^{4\left(k+1\right)-3}\\ & =19\cdot19^{k}-2^{4}\left(-1\right)^{k-1}2^{4k-3}\\ & =19\left(19^{k}+\left(-1\right)^{k+1-1}2^{4k-3}\right)+35\left(-1\right)^{k-1}2^{4k-3}\\ & =19a_{k}+35\left(-1\right)^{k-1}2^{4k-3}\\ & =19a_{k}+5\cdot7\left(-1\right)^{k-1}2^{4k-3} \end{align*} となり、右辺第1項も右辺第2項も7で割り切れるので\(a_{k+1}\)は7で割り切れる。
故に数学的帰納法より\(a_{n}\)は7で割り切れる。