(0)

円に内接しているので対角の和は\(\pi\)となる。
ブレートシュナイダーの公式より、
\begin{align*} S & =\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{\pi}{2}}\\ & =\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)} \end{align*}

(0)-2

円に内接しているので、
\[ \cos B=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2\left(ab+cd\right)} \] となる。
これを使って、
\begin{align*} S & =\frac{1}{2}ab\sin B+\frac{1}{2}cd\sin D\\ & =\frac{1}{2}ab\sin B+\frac{1}{2}cd\sin\left(\pi-B\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(ab+cd\right)\sin B\\ & =\frac{1}{2}\left(ab+cd\right)\sqrt{1-\cos^{2}B}\\ & =\frac{1}{2}\left(ab+cd\right)\sqrt{1-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2\left(ab+cd\right)}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ab+2cd\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ab+2cd+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)\left(2ab+2cd-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(\left(a+b\right)^{2}-\left(c-d\right)^{2}\right)\left(\left(c+d\right)^{2}-\left(a-b\right)^{2}\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c-d\right)\left(a+b-c+d\right)\left(c+d+a-b\right)\left(c+d-a+b\right)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2s-2d\right)\left(2s-2c\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2a\right)}\\ & =\sqrt{\left(s-d\right)\left(s-c\right)\left(s-b\right)\left(s-a\right)} \end{align*}