近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質

by nomura · 2024年6月20日

近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質

定義

(1)近傍

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$の元$x\in X$に対し、部分集合$V_{x}\subseteq X$が$x\in V_{x}^{\;i}\subseteq V_{x}$となるとき、$V_{x}$を$x$の近傍という。
または、位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$の元$x\in X$に対し、$x$を含むある開集合$U_{x}$が存在し、$U_{x}$を$V_{x}$が含むとき、すなわち$x\in U_{x}\subseteq V_{x}$となるとき$V_{x}$を$x$の近傍という。
$U_{x}$は開集合ですが、$V_{x}$は開集合とは限りません。

(2)開近傍

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$の元$x\in X$に対し、$x$を含む開集合$U_{x}$を$x$の開近傍という。
開近傍は近傍が開集合となるときと同値である。

(3)閉近傍

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$の元$x\in X$と$x$を含む閉集合$F_{x}$があり、ある開集合$U$が存在し、$x\in U\subseteq F_{x}$となるとき、$F_{x}$を閉近傍という。
閉近傍は近傍が閉集合となるときと同値である。

(4)近傍系

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$が与えられたとき、元$x\in X$の近傍全体からなる部分集合族$\mathcal{V}_{x}=\left\{ V\subseteq X;x\in V^{i}\right\} $を近傍系という。
近傍系の元は開集合とは限りません。
$\mathcal{V}_{x}$は一意的に決まります。
基本近傍系$\mathcal{B}_{x}$が与えられたとき、近傍系$\mathcal{V}_{x}$は
\[ \mathcal{V}_{x}=\left\{ V_{x}\subseteq X;\exists B_{x}\subseteq\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x}\right\} \] となる。

(5)開近傍系

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$が与えられたとき、任意の元$x\in X$の開近傍全体からなる集合族$\mathcal{U}_{x}=\left\{ U\in\mathcal{O};x\in U\right\} $を開近傍系という。
開近傍系の元は開集合になります。
$\mathcal{U}_{x}$は一意的に決まります。

(6)基本近傍系

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$と元$x\in X$が与えられたとき、近傍系$\mathcal{V}_{x}$の部分集合$\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x}$があり、任意の近傍系$\mathcal{V}_{x}$の元$V_{x}\in\mathcal{V}_{x}$に対し、ある$\mathcal{B}_{x}$の元$B_{x}\in\mathcal{B}_{x}$が存在し、$B_{x}\subseteq V_{x}$となるとき、$\mathcal{B}_{x}$を基本近傍系という。
すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x},\forall V_{x}\in\mathcal{V}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x} \] である。
基本近傍系の元は開集合とは限りません。
$\mathcal{B}_{x}$は一意的には決まりません。

(7)基本開近傍系

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$と元$x\in X$が与えられたとき、開近傍系$\mathcal{U}_{x}$の部分集合$\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{U}_{x}$があり、任意の開近傍系$\mathcal{U}_{x}$の元$U_{x}\in\mathcal{U}_{x}$に対し、ある$\mathcal{B}_{x}$の元$B_{x}\in\mathcal{B}_{x}$が存在し、$B_{x}\subseteq U_{x}$となるとき、$\mathcal{B}_{x}$を基本開近傍系という。
すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{U}_{x},\forall U_{x}\in\mathcal{U}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq U_{x} \] である。
また、基本近傍系の元は全て開近傍であるものを基本開近傍系という。
基本開近傍系の元は開集合となります。
$\mathcal{B}_{x}$は一意的には決まりません。

(8)開基

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$が与えられたとき、ある部分集合$\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O}$が存在し、任意の開集合$O\in\mathcal{O}$に対し、ある部分集合$\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\,\right\} \subseteq\mathcal{B}$が存在し、$O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\,\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$で表されるとき、$\mathcal{B}$を開基という。
$\Lambda=\emptyset$とすると$O=\emptyset$となるので$\emptyset\in\mathcal{O}$となる。
$\mathcal{B}$は一意的には決まりません。

(9)準開基

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$の開基$\mathcal{B}$が与えられたとき、任意の$B\in\mathcal{B}$に対しある集合族$\mathcal{C}$の有限部分集合$\left\{ C_{i};i\in I\right\} \subseteq\mathcal{C}$が存在し$B=\bigcap\left\{ C_{i};i\in I\right\} =\bigcap_{i\in I}C_{i}$となるとき、$\mathcal{C}$を準開基という。
$I=\emptyset$とすると$B=X$となるので$X\in\mathcal{B}$となる。
準開基は一意的には決まりません。

性質

(1)開基の別定義

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$があるとき、集合族$\mathcal{B}$が開基であることと、集合族$\mathcal{B}$の任意の元が開集合であり、任意の開集合$U\in\mathcal{O}$と任意の元$x\in U$についてある$B_{x}\in\mathcal{B}$が存在し、$x\in B_{x}\subseteq U$となることは同値である。

(2)基本開近傍系から開基の作成

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$があり、$x\in X$として基本開近傍系$\mathcal{B}_{x}$があるとき、$\mathcal{B}=\bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_{x}$は開基となる。

(3)開基から基本開近傍系の作成

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$があり、開基$\mathcal{B}$があるとき、$x\in X$として、$\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in B_{x}\right\} $は$x$の基本開近傍系となる。

(4)

集合$X$とべき集合$2^{X}$の部分集合を$\mathcal{B}\subseteq2^{X}$として、$\bigcup\mathcal{B}=X$かつ$A,B\in\mathcal{B}\rightarrow A\cap B\in\mathcal{B}$となるとき、$\mathcal{B}$は開基となる。

(1)近傍

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \right)$とする。
$a\in\left\{ a,b\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a,b\right\} $なので$\left\{ a,b\right\} $は$a$の近傍となる。
$a\in\left\{ a,b,c\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a,b,c\right\} $なので$\left\{ a,b,c\right\} $は$a$の近傍となる。
$c\in\left\{ c\right\} ^{i}=\left\{ c\right\} \subseteq\left\{ c\right\} $なので$\left\{ c\right\} $は$c$の近傍となる。
$a\notin\left\{ a\right\} ^{i}=\emptyset\subseteq\left\{ a\right\} $なので$\left\{ a\right\} $は$a$の近傍ではない。

(2)開近傍

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とする。
$\left\{ a\right\} $と$\left\{ a,b,c\right\} $は$a$を元にもつ近傍で開集合なので$a$の開近傍となる。
$\left\{ a,b\right\} $は$a$を含む近傍であるが$\left\{ a,b\right\} $は開集合ではないので$a$の開近傍とならない。

(3)閉近傍

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とする。
このとき、閉集合全体の集合は$\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $である。
$\left\{ a,b,c\right\} $は$a$を元にもつ近傍で閉集合なので$a$の閉近傍となる。
$\left\{ a\right\} $は$a$を元にもつ閉集合であるが$a$を元にもつ近傍ではないので閉近傍ではない。
$\left\{ b,c\right\} $は$b$を元にもつ近傍であるが閉集合ではないので$b$の閉近傍とならない。

(4)近傍系

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とする。
$a$を含む近傍系は$\mathcal{V}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $となる。
$c$を含む近傍系は$\mathcal{V}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $となる。

(5)開近傍系

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とする。
$a$を含む開近傍系は$\mathcal{U}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $となる。
$c$を含む開近傍系は$\mathcal{U}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $となる。

(6)基本近傍系

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とする。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $は$a$を含む基本近傍系となる。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a\right\} \right\} $は近傍系の部分集合ではないので$a$を含む基本近傍系ではない。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,c\right\} \right\} $については$\left\{ a,b\right\} $は近傍系の元であるが$\left\{ a,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} $となるので$a$を含む基本近傍系とはならない。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b,c\right\} \right\} $については$\left\{ a,b\right\} $は近傍系の元であるが$\left\{ a,b,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} $となるので$a$を含む基本近傍系とはならない。
$\mathcal{B}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $は$c$を含む基本近傍系となる。
距離空間を$\left(X,d\right)$とすると、$\mathcal{B}_{x}=\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} $は$x$を含む基本近傍系となる。

(7)基本開近傍系

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とする。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $は$a$を含む基本開近傍系となる。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a\right\} \right\} $は開近傍系の部分集合ではないので$a$を含む基本開近傍系ではない。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,c\right\} \right\} $については$\left\{ a,b\right\} $は開近傍系の元であるが$\left\{ a,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} $となるので$a$を含む基本開近傍系とはならない。
$\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b,c\right\} \right\} $については$\left\{ a,b\right\} $は開近傍系の元であるが$\left\{ a,b,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} $となるので$a$を含む基本開近傍系とはならない。
$\mathcal{B}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $は$c$を含む基本開近傍系となる。
距離空間を$\left(X,d\right)$とすると、$\mathcal{B}_{x}=\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} $は$x$を含む基本開近傍系となる。

(8)開基

位相空間を$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$とする。
$\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} $は開集合全体の部分集合であり、$\bigcup_{A\in\emptyset}A=\emptyset,\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ c\right\} =\left\{ a,b,c\right\} $なので開基となる。
$\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} $は開集合$\left\{ a,b,c\right\} $が$B$の元の和集合で表せないので開基とはならない。
$\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} $は開集合$\left\{ c\right\} $が$\mathcal{B}$の元の和集合で表せないので開基とはならない。
$\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} $は$\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} $が開集合でないので開基ではない。
離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は1点集合の全体$\mathcal{B}=\left\{ \left\{ x\right\} ;x\in X\right\} $が開基となる。
距離空間$\left(X,d\right)$は各点の$\epsilon$近傍全体$\mathcal{B}=\left\{ B_{\epsilon}\left(x\right);x\in X,\epsilon>0\right\} $が開基となる。
2つの位相空間$\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)$の直積位相空間$\left(X\times Y,\mathcal{O}\right)$は$\mathcal{B}=\left\{ O_{X}\times O_{Y},O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} $が開基となる。

(9)準開基

位相空間$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)$の開基を$\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} $とする。
$\mathcal{C}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} $は開基の部分集合であり、$\left\{ a\right\} =\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b\right\} =\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} =\left\{ a,c\right\} $なので準開基となる。
$\mathcal{C}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} $は開基の元$\left\{ a,b\right\} $が$\mathcal{C}$の元の積集合で表せないので準開基とはならない。

(1)

$\Rightarrow$

条件より$\mathcal{B}$は開基であるので$\mathcal{B}$の任意の元は開集合となる。
また、任意の開集合$U\in\mathcal{O}$について、ある$\mathcal{B}$の部分集合$\mathcal{B}'\subseteq\mathcal{B}$が存在し、$\mathcal{B}$は開基なので$U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B$とできる。
このとき、任意の元$x\in U$について、ある$B_{x}\in\mathcal{B}'$が存在し、$x\in B_{x}$かつ$B_{x}\subseteq U$となるので、$B_{x}\in\mathcal{B}'\subseteq\mathcal{B}$かつ$x\in B_{x}\subseteq U$となる。
従って、$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

条件より、任意の開集合$U\in\mathcal{O}$と任意の元$x\in U$について、ある$B_{x}\in\mathcal{B}$が存在し、$x\in B_{x}\subseteq U$となるようにできる。
このとき、$U=\bigcup_{x\in U}B_{x}$となるので、$\mathcal{B}'=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in U,x\in B_{x}\subseteq U\right\} \subseteq\mathcal{B}$とおくと$U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B$となる。
従って、任意の開集合$U\in\mathcal{O}$について、$\mathcal{B}'=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in U,x\in B_{x}\subseteq U\right\} \subseteq\mathcal{B}$とおくと$U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B$となり、$\mathcal{B}$の任意の元は開集合なので、$\mathcal{B}$は開基となる。
故に$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

(2)

任意の$O\in\mathcal{O}$と任意の$x\in O$について、ある基本開近傍系$\mathcal{B}_{x}$の元$B_{x}\in\mathcal{B}_{x}$が存在し、$B_{x}\subseteq O$となる。
このとき、$B_{x}\in\mathcal{B}$となり、$O=\bigcup_{x\in O}B_{x}$となる。
従って、$\mathcal{B}=\bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_{x}$は開基となる。

(3)

$x\in X$として、$x$の近傍$U_{x}$をとると、ある部分集合$\mathcal{U}\subseteq\mathcal{B}$が存在し、$U_{x}$の内部$U_{x}^{i}=\bigcup_{u\in\mathcal{U}}U$となる。
ここで、$U\in\mathcal{U}$が$x\in U$となるとき、$U\in\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in B_{x}\right\} $となり、$U\subseteq U_{x}$となる。
従って、$\mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{x}\in\mathcal{B};x\in B_{x}\right\} $は基本開近傍系となる。

(4)

$\mathcal{B}$の元の任意個の和集合全体の集合
\[ \mathcal{P}=\left\{ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\left(A_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\subseteq\mathcal{B}\right\} \] が$X$の開集合族になることを示せば$\mathcal{B}$は開基となる。

空集合と全体集合

$\left(A_{\lambda}\right)_{\lambda\in\emptyset}\subseteq\mathcal{B}$より$\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset$となるので$\emptyset\in\mathcal{P}$となる。
また、条件より$\bigcup\mathcal{B}=X$なので、$X\in\mathcal{P}$となる。

有限個の積集合

任意の$A,B\in\mathcal{P}$について、ある$\left(A_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\subseteq\mathcal{B}$が存在し、$A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$で表され、同様にある$\left(B_{\mu}\right)_{\mu\in M}\subseteq\mathcal{B}$が存在し、$B=\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}$で表される。
これより、$\forall\lambda\in\Lambda,\forall\mu\in M,A_{\lambda}\cap B_{\mu}\in\mathcal{B}$であるので、
\begin{align*} A\cap B & =\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right)\\ & =\bigcup_{\left(\lambda,\mu\right)\in\Lambda\times M}A_{\lambda}\cap B_{\mu}\\ & \in\mathcal{P}\cmt{\because\forall\lambda\in\Lambda,\forall\mu\in M,A_{\lambda}\cap B_{\mu}\in\mathcal{B}} \end{align*} となる。

任意個の和集合

$\left(A_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\subseteq\mathcal{P}$とすると、ある$\left(B_{\lambda,\mu}\right)_{\mu\in M}\subseteq\mathcal{B}$が存在し$A_{\lambda}=\bigcup_{\mu\in M}B_{\lambda,\mu}$と表すことができる。
これより、$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\bigcup_{\mu\in M}B_{\lambda,\mu}\in\mathcal{P}$となる。

-

これらより、$\mathcal{P}$は$X$の開集合族となるので、$\mathcal{B}$は開基となる。

ページ情報

タイトル	近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質
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