近傍・開近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義
近傍・開近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義
または、位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含むある開集合\(U_{x}\)が存在し、\(U_{x}\)を\(V_{x}\)が含むとき、すなわち\(x\in U_{x}\subseteq V_{x}\)となるとき\(V_{x}\)を\(x\)の近傍という。
\(U_{x}\)は開集合ですが、\(V_{x}\)は開集合とは限りません。
開近傍は近傍が開集合となるときと同値である。
近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{V}_{x}\)は一意的に決まります。
基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)が与えられたとき、近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)は
\[ \mathcal{V}_{x}=\left\{ V_{x}\subseteq X;\exists B_{x}\subseteq\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x}\right\} \] となる。
開近傍系の元は開集合になります。
\(\mathcal{U}_{x}\)は一意的に決まります。
すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x},\forall V_{x}\in\mathcal{V}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x} \] である。
基本近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{B}_{x}\)は一意的には決まりません。
\(\Lambda=\emptyset\)とすると\(O=\emptyset\)となるので\(\emptyset\in\mathcal{O}\)となる。
\(\mathcal{B}\)は一意的には決まりません。
\(I=\emptyset\)とすると\(B=X\)となるので\(X\in\mathcal{B}\)となる。
準開基は一意的には決まりません。
(1)近傍
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、部分集合\(V_{x}\subseteq X\)が\(x\in V_{x}^{\;i}\subseteq V_{x}\)となるとき、\(V_{x}\)を\(x\)の近傍という。または、位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含むある開集合\(U_{x}\)が存在し、\(U_{x}\)を\(V_{x}\)が含むとき、すなわち\(x\in U_{x}\subseteq V_{x}\)となるとき\(V_{x}\)を\(x\)の近傍という。
\(U_{x}\)は開集合ですが、\(V_{x}\)は開集合とは限りません。
(2)開近傍
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含む開集合\(U_{x}\)を\(x\)の開近傍という開近傍は近傍が開集合となるときと同値である。
(3)近傍系
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、元\(x\in X\)の近傍全体からなる部分集合族\(\mathcal{V}_{x}=\left\{ V\subseteq X;x\in V^{i}\right\} \)を近傍系という。近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{V}_{x}\)は一意的に決まります。
基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)が与えられたとき、近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)は
\[ \mathcal{V}_{x}=\left\{ V_{x}\subseteq X;\exists B_{x}\subseteq\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x}\right\} \] となる。
(4)開近傍系
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、任意の元\(x\in X\)の開近傍全体からなる集合族\(\mathcal{U}_{x}=\left\{ U\in\mathcal{O};x\in U\right\} \)を開近傍系という。開近傍系の元は開集合になります。
\(\mathcal{U}_{x}\)は一意的に決まります。
(5)基本近傍系
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と元\(x\in X\)が与えられたとき、近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)の部分集合\(\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x}\)があり、任意の近傍系\(\mathcal{V}_{x}\)の元\(V_{x}\in\mathcal{V}_{x}\)に対し、ある\(\mathcal{B}_{x}\)の元\(B_{x}\in\mathcal{B}_{x}\)が存在し、\(B_{x}\subseteq V_{x}\)となるとき、\(\mathcal{B}_{x}\)を基本近傍系という。すなわち、
\[ \exists\mathcal{B}_{x}\subseteq\mathcal{V}_{x},\forall V_{x}\in\mathcal{V}_{x},\exists B_{x}\in\mathcal{B}_{x},B_{x}\subseteq V_{x} \] である。
基本近傍系の元は開集合とは限りません。
\(\mathcal{B}_{x}\)は一意的には決まりません。
(6)開基
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、ある部分集合\(\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O}\)が存在し、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)に対し、ある部分集合\(\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\,\right\} \subseteq\mathcal{B}\)が存在し、\(O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\,\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)で表されるとき、\(\mathcal{B}\)を開基という。\(\Lambda=\emptyset\)とすると\(O=\emptyset\)となるので\(\emptyset\in\mathcal{O}\)となる。
\(\mathcal{B}\)は一意的には決まりません。
(7)準開基
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の開基\(\mathcal{B}\)が与えられたとき、任意の\(B\in\mathcal{B}\)に対しある集合族\(\mathcal{C}\)の有限部分集合\(\left\{ C_{i};i\in I\right\} \subseteq\mathcal{C}\)が存在し\(B=\bigcap\left\{ C_{i};i\in I\right\} =\bigcap_{i\in I}C_{i}\)となるとき、\(\mathcal{C}\)を準開基という。\(I=\emptyset\)とすると\(B=X\)となるので\(X\in\mathcal{B}\)となる。
準開基は一意的には決まりません。
(1)近傍
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \right)\)とする。\(a\in\left\{ a,b\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a,b\right\} \)なので\(\left\{ a,b\right\} \)は\(a\)の近傍となる。
\(a\in\left\{ a,b,c\right\} ^{i}=\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a,b,c\right\} \)なので\(\left\{ a,b,c\right\} \)は\(a\)の近傍となる。
\(c\in\left\{ c\right\} ^{i}=\left\{ c\right\} \subseteq\left\{ c\right\} \)なので\(\left\{ c\right\} \)は\(c\)の近傍となる。
\(a\notin\left\{ a\right\} ^{i}=\emptyset\subseteq\left\{ a\right\} \)なので\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)の近傍ではない。
(2)開近傍
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \right)\)とする。\(\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \)は\(a\)を含む近傍で全ての元が開集合なので開近傍となる。
\(\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ a,b,c,d\right\} \right\} \)は\(a\)を含む近傍であるが\(\left\{ a,b,c\right\} \)は開集合ではないので開近傍とならない。
(3)近傍系
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(a\)を含む近傍系は\(\mathcal{V}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
\(c\)を含む近傍系は\(\mathcal{V}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
(4)開近傍系
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(a\)を含む開近傍系は\(\mathcal{U}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
\(c\)を含む開近傍系は\(\mathcal{U}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となる。
(5)基本近傍系
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は\(a\)を含む基本近傍系となる。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)は近傍系の部分集合ではないので\(a\)を含む基本近傍系ではない。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,c\right\} \right\} \)については\(\left\{ a,b\right\} \)は近傍系の元であるが\(\left\{ a,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} \)となるので\(a\)を含む基本近傍系とはならない。
\(\mathcal{B}_{a}=\left\{ \left\{ a,b,c\right\} \right\} \)については\(\left\{ a,b\right\} \)は近傍系の元であるが\(\left\{ a,b,c\right\} \nsubseteq\left\{ a,b\right\} \)となるので\(a\)を含む基本近傍系とはならない。
\(\mathcal{B}_{c}=\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は\(c\)を含む基本近傍系となる。
距離空間を\(\left(X,d\right)\)とすると、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)は\(x\)を含む基本近傍系となる。
(6)開基
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} \)は開集合全体の部分集合であり、\(\bigcup_{A\in\emptyset}A=\emptyset,\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ c\right\} =\left\{ a,b,c\right\} \)なので開基となる。
\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)は開集合\(\left\{ a,b,c\right\} \)が\(B\)の元の和集合で表せないので開基とはならない。
\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)は開集合\(\left\{ c\right\} \)が\(\mathcal{B}\)の元の和集合で表せないので開基とはならない。
\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\} \)は\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \)が開集合でないので開基ではない。
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は1点集合の全体\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ x\right\} ;x\in X\right\} \)が開基となる。
距離空間\(\left(X,d\right)\)は各点の\(\epsilon\)近傍全体\(\mathcal{B}=\left\{ B_{\epsilon}\left(x\right);x\in X,\epsilon>0\right\} \)が開基となる。
2つの位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)の直積位相空間\(\left(X\times Y,\mathcal{O}\right)\)は\(\mathcal{B}=\left\{ O_{X}\times O_{Y},O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} \)が開基となる。
(7)準開基
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)の開基を\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} \)とする。\(\mathcal{C}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} \)は開基の部分集合であり、\(\left\{ a\right\} =\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,b\right\} =\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} =\left\{ a,c\right\} \)なので準開基となる。
\(\mathcal{C}=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,c\right\} \right\} \)は開基の元\(\left\{ a,b\right\} \)が\(\mathcal{C}\)の元の積集合で表せないので準開基とはならない。
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| タイトル | 近傍・開近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義 |
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凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right)
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
剰余の剰余
\[
\mod\left(\mod\left(\alpha,n\beta\right),\beta\right)=\mod\left(\alpha,\beta\right)
\]