チェビシェフ多項式の積表示
チェビシェフ多項式の積表示
(1)
\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \](2)
\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \](1)
\(T_{n}(x)\)の零点は\(T_{n}(x)=\cos\left(n\cos^{\bullet}x\right)\)より、\[ n\cos^{\bullet}x=\frac{2k-1}{2}\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n \] となるので、
\[ x=\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) \] となる。
\(T_{n}(x)\)は\(n\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n}\)である。
これより、
\[ T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]
(2)
\(U_{n-1}(x)\)の零点は\(U_{n-1}(x)=\frac{\sin\left(n\cos^{\bullet}x\right)}{\sin\cos^{\bullet}x}\)より、\[ n\cos^{\bullet}x=k\pi\qquad,\qquad k=1,2,\cdots\cdots,n \] となるので、
\[ x=\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right) \] となる。
\(U_{n-1}(x)\)は\(n-1\)次の多項式で最高次の係数は\(2^{n-1}\)である。
これより、
\[ U_{n-1}(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)\right) \]
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タイトル | チェビシェフ多項式の積表示 |
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第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[
nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)
\]
チェビシェフ多項式の別表記
\[
T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[
V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}
\]
チェビシェフ多項式の漸化式
\[
T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)
\]