ルート引くルートの問題
ルート引くルートの問題
次の式を簡単にせよ。
\[ \sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \]
次の式を簡単にせよ。
\[ \sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \]
2乗すると、
\begin{align*} \left(\sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\,\right)^{2} & =\left(2\sqrt{3}+2\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)-2\sqrt{2\sqrt{3}+2}\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\sqrt{6-2\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}+1+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\right)^{2}}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\right|\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\right)\\ & =\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{align*} となり、\(0<\sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)なので、
\[ \sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \]
\begin{align*} \left(\sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\,\right)^{2} & =\left(2\sqrt{3}+2\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)-2\sqrt{2\sqrt{3}+2}\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\sqrt{6-2\sqrt{6}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}+1+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\right)^{2}}\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\right|\\ & =3\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\right)\\ & =\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{align*} となり、\(0<\sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)なので、
\[ \sqrt{2\sqrt{3}+2}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \]
ページ情報
タイトル | ルート引くルートの問題 |
URL | https://www.nomuramath.com/owf28cpp/ |
SNSボタン |
3変数3次対称式の因数分解
\[
\left(x+y+z\right)^{3}-\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\text{を因数分解せよ}
\]
eのπ乗とπのe乗の大小比較
\[
e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e}
\]
3乗根の有理化
\[
\frac{1}{2\cdot3^{\frac{2}{3}}+3\cdot3^{\frac{1}{3}}+2}\text{の有理化}
\]
展開はしないほうがいいです
\[
\left(x+y\right)^{2}\left(xy-1\right)+1\text{を因数分解}
\]