ライプニッツ級数

by nomura · 2024年8月1日

ライプニッツ級数
次の総和が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4} \] この級数をライプニッツ級数という。

この級数の最初の数項は、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots \] となります。

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1} & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\left[\frac{1}{2k-1}x^{2k-1}\right]_{0}^{1}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\int_{0}^{1}x^{2k-2}dx\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}x^{2k-2}dx\cmt{\text{総和と積分の順序変更}}\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\left(x^{2}\right)^{k-1}dx\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{k-1}dx\\ & =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\ & =\left[\tan^{\bullet}x\right]_{0}^{1}\\ & =\frac{\pi}{4} \end{align*}