ライプニッツ級数
ライプニッツ級数
次の総和が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4} \] この級数をライプニッツ級数という。
次の総和が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4} \] この級数をライプニッツ級数という。
この級数の最初の数項は、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots \] となります。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots \] となります。
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1} & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\left[\frac{1}{2k-1}x^{2k-1}\right]_{0}^{1}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\int_{0}^{1}x^{2k-2}dx\\
& =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}x^{2k-2}dx\cmt{\text{総和と積分の順序変更}}\\
& =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\left(x^{2}\right)^{k-1}dx\\
& =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{k-1}dx\\
& =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\
& =\left[\tan^{\bullet}x\right]_{0}^{1}\\
& =\frac{\pi}{4}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ライプニッツ級数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ox7d83dr/ |
| SNSボタン |
1のn乗根のべき乗の総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{\;k}\right)^{m}=n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)}
\]
ラマヌジャンの無限根
\[
1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3
\]
アーベルの級数変形法とアーベルの総和公式
\[
\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}b\left(k\right)=A\left(y\right)b\left(y\right)-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt
\]
1-1+1-1+…と続く総和
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}
\]