ライプニッツ級数
ライプニッツ級数
次の総和が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4} \] この級数をライプニッツ級数という。
次の総和が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4} \] この級数をライプニッツ級数という。
この級数の最初の数項は、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots \] となります。
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots \] となります。
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2k-1} & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\left[\frac{1}{2k-1}x^{2k-1}\right]_{0}^{1}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\int_{0}^{1}x^{2k-2}dx\\
& =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}x^{2k-2}dx\cmt{\text{総和と積分の順序変更}}\\
& =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\left(x^{2}\right)^{k-1}dx\\
& =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{k-1}dx\\
& =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\
& =\left[\tan^{\bullet}x\right]_{0}^{1}\\
& =\frac{\pi}{4}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ライプニッツ級数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ox7d83dr/ |
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ラマヌジャンの無限根
\[
1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3
\]
積の形の無限多重根号
\[
\sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\}
\]
アーベルの級数変形法とアーベルの総和公式
\[
\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}b\left(k\right)=A\left(y\right)b\left(y\right)-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt
\]
始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分
\[
\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}=\frac{b-a+1}{2}
\]