(1)

$$\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{j}f(j,k)$$ はある$j$について$k:0\to j+0$で$j$は$j:0\to n$である。
これを$jk$平面で考え総和を取る順序を変える。
順序を逆にすると、ある$k$について$j:k\to n$で$k$は$k:0\to n$となるので、
$$\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{j}f(j,k)=\sum _{k=0}^n\sum _{j=k}^{n}f(j,k)$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=a}^n\sum _{k=b}^{j+c}f(j,k)& =\sum _{j=a}^n(\sum _{k=b}^{a+c-1}+\sum _{k=a+c}^{j+c})f(j,k)\\ & =\sum _{j=a}^n\sum _{k=b}^{a+c-1}f(j,k)+\sum _{j=a}^n\sum _{k=a+c}^{j+c}f(j,k)\\ & =\sum _{j=a}^n\sum _{k=b}^{a+c-1}f(j,k)+\sum _{j=0}^{n-a}\sum _{k=0}^{j}f(j+a,k+a+c)\\ & =\sum _{j=a}^n\sum _{k=b}^{a+c-1}f(j,k)+\sum _{k=0}^{n-a}\sum _{j=k}^{n-a}f(j+a,k+a+c)\\ & =\sum _{j=a}^n\sum _{k=b}^{a+c-1}f(j,k)+\sum _{k=a+c}^{n+c}\sum _{j=k+a}^{n}f(j,k)\end{array}$$

(3)

$\{\begin{array}{l}m=s\\ n=t-s\end{array}$
とおき$mn$平面で考える。
$t=m+n$であるので$t:a+b\to \mathrm{\infty }$となり、$s=t-n$であるのである$t$に対し$s$は$s:a\to t-b$となるので、
$$\sum _{m=a}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=b}^{\mathrm{\infty }}f(m,n)=\sum _{t=a+b}^{\mathrm{\infty }}\sum _{s=a}^{t-b}f(s,t-s)$$ となる。
次に$s=m$であるので、$s:a\to \mathrm{\infty }$となり、$t=n+s$であるのである$s$に対し$t$は$t:s+b\to \mathrm{\infty }$となるので、
$$\sum _{m=a}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=b}^{\mathrm{\infty }}f(m,n)=\sum _{s=a}^{\mathrm{\infty }}\sum _{t=s+b}^{\mathrm{\infty }}f(s,t-s)$$ となる。

(3)-2

2つ目の式の証明。
$$\sum _{t=a+b}^{\mathrm{\infty }}\sum _{s=a}^{t-b}f(s,t-s)$$ はある$t$について$s:a\to t-b$で$t$は$t:a+b\to \mathrm{\infty }$である。
これを$st$平面で考え総和を取る順序を変える。
順序を逆にすると、ある$s$について$t:s+b\to \mathrm{\infty }$で$s$は$s:a\to \mathrm{\infty }$となるので、
$$\sum _{t=a+b}^{\mathrm{\infty }}\sum _{s=a}^{t-b}f(s,t-s)=\sum _{s=a}^{\mathrm{\infty }}\sum _{t=s+b}^{\mathrm{\infty }}f(s,t-s)$$ となる。

(4)

$$\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{n-j}f(j,k)=\sum _{j=0}^n\sum _{k=j}^{n}f(j,k-j)(k\to k-j)$$

-

$j:0\to n,k:0\to n-j$なので$k$を固定すると$j$は$j:0\to n-k$となり、$k:0\to n$なので、
$$\begin{array}{rl}\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{n-j}f(j,k)& =\sum _{k=0}^n\sum _{j=0}^{n-k}f(j,k)\end{array}$$ となる。

-

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{n-j}f(j,k)& =\sum _{j=0}^n\sum _{k=j}^{n}f(j,k-j)(k\to k-j)\\ & =\sum _{k=0}^n\sum _{j=0}^{k}f(j,k-j)\end{array}$$ となる。

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$$\begin{array}{rl}\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^{n-j}f(j,k)& =\sum _{k=0}^n\sum _{j=0}^{n-k}f(j,k)\\ & =\sum _{k=0}^n\sum _{j=k}^{n}f(j-k,k)(j\to j-k)\end{array}$$

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これらより題意は成り立つ。