ガンマ関数の半整数値
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \](2)
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \](1)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)Q\left(\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(1-\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)\\ & =\Gamma^{-1}\left(\frac{1}{2}+n\right)\frac{\pi}{\sin\left(\pi\left(\frac{1}{2}+n\right)\right)}\\ & =(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{-n-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=-n}^{-1}\left(\frac{1}{2}+k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}-k\right)^{-1}\\ & =\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)P^{-1}\left(-\frac{1}{2},n\right)\\ & =\frac{(-1)^{n}2^{2n-1}(n-1)!}{(2n-1)!}\sqrt{\pi} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の半整数値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/oydg4xw1/ |
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ディガンマ関数・ポリガンマ関数の相反公式
\[
\psi\left(1-z\right)-\psi\left(z\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)
\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]
ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]
負の整数の階乗の商
\[
\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}
\]