ガンマ関数の半整数値

by nomura · 2020年6月28日

n \in N

とする。

(1)

Γ (\frac{1}{2} + n) = \frac{(2 n - 1)!}{2^{2 n - 1} (n - 1)!} \sqrt{π}

Γ (\frac{1}{2} - n) = (- 1)^{n} \frac{2^{2 n - 1} (n - 1)!}{(2 n - 1)!} \sqrt{π}

\begin{aligned} Γ (\frac{1}{2} + n) & = Γ (\frac{1}{2}) \prod_{k = 0}^{n - 1} (\frac{1}{2} + k) \\ = Γ (\frac{1}{2}) Q (\frac{1}{2}, n) \\ = \frac{(2 n - 1)!}{2^{2 n - 1} (n - 1)!} \sqrt{π} \end{aligned}

\begin{aligned} Γ (\frac{1}{2} - n) & = Γ (1 - (\frac{1}{2} + n)) \\ = Γ^{- 1} (\frac{1}{2} + n) \frac{π}{\sin (π (\frac{1}{2} + n))} \\ = (- 1)^{n} \frac{2^{2 n - 1} (n - 1)!}{(2 n - 1)!} \sqrt{π} \end{aligned}

\begin{aligned} Γ (\frac{1}{2} - n) & = Γ (\frac{1}{2}) \prod_{k = 0}^{- n - 1} (\frac{1}{2} + k) \\ = Γ (\frac{1}{2}) \prod_{k = - n}^{- 1} {(\frac{1}{2} + k)}^{- 1} \\ = Γ (\frac{1}{2}) \prod_{k = 0}^{n - 1} {(- \frac{1}{2} - k)}^{- 1} \\ = Γ (\frac{1}{2}) P^{- 1} (- \frac{1}{2}, n) \\ = \frac{(- 1)^{n} 2^{2 n - 1} (n - 1)!}{(2 n - 1)!} \sqrt{π} \end{aligned}

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タイトル	ガンマ関数の半整数値
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Γ (n z) = \frac{n^{n z - \frac{1}{2}}}{{(2 π)}^{\frac{n - 1}{2}}} \prod_{k = 0}^{n - 1} Γ (z + \frac{k}{n})

γ (a, x) + Γ (a, x) = Γ (a)

Γ (n + 1) = n!

\int_{0}^{\infty} (x^{- 1} e^{- x} - \frac{e^{- n x}}{1 - e^{- x}}) d x = H_{n - 1} - γ