数列の極限
数列\(\{a_{n}\}\)が
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow|a_{n}-b|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=b \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は\(b\)に収束する」という。
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow|a_{n}-b|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=b \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は\(b\)に収束する」という。
数列\(\{a_{n}\}\)が
\[ \forall K>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}> K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は正の無限大に発散する」という。
同様に
\[ \forall K<0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}<K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は負の無限大に発散する」という。
\[ \forall K>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}> K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は正の無限大に発散する」という。
同様に
\[ \forall K<0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n> N\Rightarrow a_{n}<K \] を満たすとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty \] で表し、「数列\(\{a_{n}\}\)は負の無限大に発散する」という。
ページ情報
| タイトル | 数列の極限 |
| URL | https://www.nomuramath.com/oyojhum9/ |
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ベッセル関数のポアソン積分表示
\[
J_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}e^{izt}dt
\]
二項係数とベータ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}4^{n}B(n,n)=2\sqrt{\pi}
\]
ウォリス積分を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]