(1)

連結成分\(C_{x}\)は連結なのでその閉包\(C_{x}^{a}\)も連結となる。
ここで\(C_{x}^{a}\)は連結で、\(C_{x}\)は最大の連結部分集合なので\(C_{x}\supseteq C_{x}^{a}\)となる。
また、一般的に\(C_{x}\subseteq C_{x}^{a}\)が成り立つので\(C_{x}=C_{x}^{a}\)となり、\(C_{x}\)は閉集合となる。
故に題意は成り立つ。

連結成分が有限個のとき

連結成分が有限個のとき、\(X\)は連結成分の互いに交わらない和集合なので\(C_{x_{0}}\)の補集合\(C_{x_{0}}^{c}\)は\(C_{x_{0}}\)以外の連結成分\(C_{x_{1}},C_{x_{2}},\cdots\)の和集合となる。
連結成分は閉集合なので、その有限個の和集合も閉集合\(C_{x_{1}}\cap C_{x_{2}}\cap\cdots\)となり、その補集合\(\left(C_{x_{1}}\cap C_{x_{2}}\cap\cdots\right)^{c}=C_{x_{0}}\)は開集合となる。
従って連結成分が有限個ならば連結成分は開集合となる。

一般的に開集合とは限らない。

反例で示す。
有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)に通常距離を入れた距離空間\(\left(\mathbb{Q},d\right)\)で考える。
この距離空間では、例えば\(\left(3,4\right)\cap\mathbb{Q}\)は\(\left(3,4\right)\cap\mathbb{Q}=\left(\left(3,\pi\right)\cap\mathbb{Q}\right)\cup\left(\left(\pi,4\right)\cap\mathbb{Q}\right),\emptyset=\left(\left(3,\pi\right)\cap\mathbb{Q}\right)\cap\left(\left(\pi,4\right)\cap\mathbb{Q}\right)\)となるので連結ではない。
これより、任意の有理数\(a\in\mathbb{Q}\)を含む連結成分は1点からのみなる集合\(\left\{ a\right\} \)となり、\(\left\{ a\right\} \cap\mathbb{Q}=\left\{ a\right\} \)となるので\(\left\{ a\right\} \)は\(\left(\mathbb{Q},d\right)\)での閉集合である。
しかし、ある\(\epsilon>0\)が存在し\(\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)\cap\mathbb{Q}=\left\{ a\right\} \)とはならないので\(\left\{ a\right\} \)は\(\left(\mathbb{Q},d\right)\)での開集合ではない。
従って連結成分は開集合とは限らない。

一般的に開集合とは限らない-2

反例で示す。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離を入れた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)の部分空間
\[ X=\left\{ 0\right\} \cup\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \] で考える。
このとき連結成分は\(\left\{ 0\right\} ,\left\{ \frac{1}{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\)となるが、ある\(\epsilon>0\)が存在し\(\left(-\epsilon,\epsilon\right)\cap X=\left\{ 0\right\} \)とはならないので\(\left\{ 0\right\} \)は\(X\)での開集合ではない。
従って連結成分は開集合とは限らない。

(2)

弧状連結成分は閉集合とは限らない

反例で示す。
ユークリッド空間\(\left(\mathbb{R}^{2},d\right)\)で
\[ \begin{cases} A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\ A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\ B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\} \end{cases} \] とおいたとき、部分空間
\[ C=A_{n}+B \] は弧状連結であり弧状連結成分であるが、その閉包は
\[ C^{^{a}}=C\cup A_{\infty} \] となり、\(C^{a}\ne C\)なので弧状連結成分であっても閉集合とは限らない。

弧状連結成分は開集合とは限らない

反例で示す。
有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)に通常の位相\(\mathcal{O}_{n}\)を入れた通常位相\(\left(\mathbb{Q},\mathcal{O}_{n}\right)\)では\(x\in\mathbb{Q}\)とすると弧状連結成分\(\pi_{x}\)は\(\pi_{x}=\left\{ x\right\} \)と1点集合であり、これは\(\mathbb{Q}\)での開集合でない。
従って、弧状連結成分は開集合とは限らない。

有限集合なら弧状連結成分は開集合かつ閉集合

有限位相\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)で考える。
任意の\(x,y\in X\)に対し、\(\forall O\in\mathcal{O},x\in O\rightarrow y\in O\)であれば\(x,y\)は弧状連結となる。
何故なら、\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X\)を
\[ f\left(a\right)=\begin{cases} x & a\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\\ y & a\in\left(\frac{1}{2},1\right] \end{cases} \] とすれば\(x\in O\rightarrow f^{\bullet}\left(O\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ x,y\right\} \right)=\left[0,1\right],x\notin O\rightarrow\left(f^{\bullet}\left(O\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ y\right\} \right)=\left(\frac{1}{2},1\right]\lor f^{\bullet}\left(O\right)=f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset\right)\)となるので\(f\)は連続写像となるからである。
ここで\(X\)は有限集合なので、\(\pi_{x}=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right\} ,\pi_{x}^{c}=\left\{ y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}\right\} \)とする。
このとき、\(x\in\pi_{x},y\in\pi_{x}^{c}\)とすると\(x,y\)は弧状連結ではないので\(\lnot\left(\forall O\in\mathcal{O},x\in O\rightarrow y\in O\right)\Leftrightarrow\exists O_{x,y}\in\mathcal{O},x\in O_{x,y}\land y\notin O_{x,y}\)となる。
これより、
\[ \bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\bigcup_{x\in\pi_{x}}O_{x,y}=\pi_{x} \] となる。
何故なら任意の\(y\in\pi_{x}^{c}\)に対し、\(\pi_{x}\subseteq\bigcup_{x\in\pi_{x}}O_{x,y}\)となり、それを\(y\in\pi_{x}^{c}\)で積集合をとると、\(\pi_{x}\subseteq\bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\bigcup_{x\in\pi_{x}}O_{x,y}\)となり、
\begin{align*} \bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\bigcup_{x\in\pi_{x}}O_{x,y} & \subseteq\bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\left(X\setminus\left\{ y\right\} \right)\\ & =\bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\left(X\cap\left\{ y\right\} ^{c}\right)\\ & =\bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\left\{ y\right\} ^{c}\\ & =\left(\bigcup_{y\in\pi_{x}^{c}}\left\{ y\right\} \right)^{c}\\ & =\left(\pi_{x}^{c}\right)^{c}\\ & =\pi_{x} \end{align*} より、\(\bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\bigcup_{x\in\pi_{x}}O_{x,y}\subseteq\pi_{x}\)となるので\(\bigcap_{y\in\pi_{x}^{c}}\bigcup_{x\in\pi_{x}}O_{x,y}=\pi_{x}\)となるからである。
\(O_{x,y}\)は開集合であり、その和集合と有限個の積集合も和集合なので弧状連結成分\(\pi_{x}\)は開集合となる。
また、\(\pi_{x}^{c}\)は弧状連結成分の和集合で表され、各弧状連結成分は開集合なので\(\pi_{x}^{c}\)は開集合になり、その補集合\(\pi_{x}\)は閉集合になる。
従って、有限集合のとき、弧状連結成分は開集合かつ閉集合になる。