フレネル積分の一般化
\[
\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a}
\]
フレネル積分の値
\[
\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}
\]
フレネル積分の定義
\[
S\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx
\]
分子が対数で分母が多項式の定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=?
\]
積み木の積み上げ問題
積み木を積み重ねると最大でどれだけずらせることが出来るのか？
4枚カード問題(ウェイソン選択課題)
仮説を検証するにはどのカードの裏面を確認する必要があるか？
床関数の総和の2乗の定積分
\[
\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?
\]
1-1+1-1+…と続く総和
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]
複素数の実部と虚部
\[
\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)
\]
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]
チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}
\]
級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a
\]
チェザロ総和とチェザロ平均の定義
\[
m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n}
\]
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[
\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
極限と上極限・下極限との関係
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]
上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
\[
\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)
\]
実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]
オプション価格の2項1期間モデル
\[
C\left(0\right)=\frac{1}{r}\left(p_{u}C_{u}+p_{d}C_{d}\right)
\]
CAPMの証明
\[
\beta_{A}=\rho_{AM}\frac{\sigma_{A}}{\sigma_{M}}
\]
トービンの分離定理の解説
\[
\sigma\left[w_{A}R_{A}+w_{B}R_{B}\right]\leq w_{A}\sigma_{A}+w_{B}\sigma_{B}
\]
割引配当による理論株価
\[
P=\frac{a}{r}
\]