2項関係の定義
\[
\left(a,b\right)\in R\Leftrightarrow aRb
\]
終域が2つの写像全体の集合
\[
\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|
\]
定義関数の定義と性質
\[
1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases}
1 & x\in A\\
0 & x\notin A
\end{cases}
\]
カントール集合の定義と性質
\[
C=\left[0,1\right]\setminus\bigcup_{j=1}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{3^{j-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{j}},\frac{3k+2}{3^{j}}\right)
\]
ケーニッヒの記法の定義と例
\[
x=0,\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\cdots
\]
同値類の性質
\[
\forall a,b\in X,a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)
\]
同値類・商集合・商写像の定義
\[
X/\sim=\left\{ C\left(a\right);a\in X\right\}
\]
射影と成分への射影の定義
\[
\pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M}
\]
直和と直積・デカルト冪の定義
\[
\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\}
\]
順序対の定義
\[
\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}
\]
分割と同値関係と商集合の関係
\[
x\sim y\Leftrightarrow\exists P\in\mathcal{P},x\in P\land y\in P
\]
集合の分割の定義
\[
\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \cup\left\{ b,c\right\}
\]
集合族の和集合と積集合の定義
\[
\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\}
\]
集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義
\[
\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}
\]
全体集合と補集合の定義
\[
A^{c}:=X\setminus A
\]
交わりと互いに素の定義
\[
A\cap B=\emptyset
\]
互いに素な集合と対角集合の関係
\[
A\cap B=\emptyset\Leftrightarrow\left(A\times B\right)\cap\Delta_{X}=\emptyset
\]
対角集合の定義
\[
\Delta_{X}=\left\{ \left(x,y\right)\in X\times X;x=y\right\} \subseteq X^{2}
\]
ラッセルのパラドックス
$\left\{ A;A\notin A\right\} $は集合ではない
空集合は任意の集合の部分集合
\[
\emptyset\subseteq A
\]