野村数学研究所

3角関数

2025年3月6日

正接・双曲線正接の総和展開

$$\tan \pi z=\frac{2z}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(k-\frac{1}{2})}^2-z^2}$$

論理問題

2025年3月5日

3つの宝箱

3つの宝箱がありますが宝が入っているのは1つです。

嘘つき問題

2025年3月4日

嘘つきに騙せれないように玉の色を当てよう

フーリエ変換

2025年3月3日

フーリエ変換でのパーセバルの等式

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{F\left(\xi \right)}G\left(\xi \right)d\xi$$

フーリエ変換

2025年2月28日

フーリエ変換の性質

$${\mathcal{F}}_x[f\left(x\right)\ast g\left(x\right)]\left(\xi \right)={\mathcal{F}}_x\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi \right){\mathcal{F}}_x\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi \right)$$

フーリエ変換

2025年2月27日

フーリエ変換の定義による違い

$${\mathcal{F}}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathcal{F}}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi }\right)$$

フーリエ変換

2025年2月26日

フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換

$${\mathcal{F}}_x\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi \right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx$$

積分問題

2025年2月24日

分母の2乗をどうするかな？

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^2}{{(1+e^x)}^2}dx=?$$

関数方程式問題

2025年2月21日

関数方程式の問題

$$f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{x+3}{1-x}\right)=x,f\left(x\right)=?$$

方程式問題

2025年2月20日

絶対値を含む不等式の範囲

$$a(\left|x\right|-a)+x+1<0,-1<a,x=?$$

フーリエ級数

2025年2月19日

実フーリエ級数

$$f\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(nx\right)+b_n\sin \left(nx\right))$$

フーリエ級数

2025年2月18日

フーリエ級数でのパーセバルの定理

$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\overline{b_n}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx$$

フーリエ級数

2025年2月17日

複素フーリエ係数の関係

$$c_{-n}=\overline{c_n}$$

フーリエ級数

2025年2月14日

複素フーリエ級数

$$c_m=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)e^{-imx}dx$$

フーリエ級数

2025年2月13日

3角関数・指数関数の直交性

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{imx}{e}^{inx}dx={\delta }_{m,n}$$

数学その他

2025年2月12日

畳み込みの性質

$$\mathcal{F}\left((f\ast g)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right)$$

数学その他

2025年2月10日

畳み込みの定義

$$(f\ast g)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g(x-t)dt$$

お知らせ

2025年2月8日

『ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係』を更新しました。

数学その他問題

2025年2月7日

4次式の点の軌跡

点$(t^2+1,t^4+2t^2)$の軌跡

数学その他問題

2025年2月6日

2変数2次式の最小値

$x^2+2xy+2y^2+2x+3$の最小値

整数問題

2025年2月5日

階乗を階乗で割ったら階乗になる

$$\frac{10!}{6!}=n!,n=?$$

微分積分

2025年2月4日

反復積分に関するコーシーの公式

$${\int }_a^x{\int }_a^{y_1}\cdots {\int }_a^{y_{n-1}}f\left(y_n\right)d{y}_n\cdots d{y}_1=\frac{1}{(n-1)!}{\int }_a^x{(x-t)}^{n-1}f\left(t\right)dt$$

数学その他

2025年2月3日

母関数の逆演算

$$a_n=\frac{1}{n!}{\left[\frac{d^n}{d{z}^n}G\left(z\right)\right]}_{z=0}$$

お知らせ

2025年1月31日

『カントール集合の定義と性質』を更新しました。

ベルヌーイ数

2025年1月31日

ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係

$${\delta }_{1,n}=({(-1)}^n-1)B_n$$

その他関数

2025年1月30日

交代順列とジグザグ数

$$\tan x+{\cos }^{-1}x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\hat{T}}_k}{k!}{x}^k$$

オイラー多項式

2025年1月29日

オイラー多項式の微分表示

$$E_n\left(x\right)=\frac{2}{e^D+1}{x}_n$$

オイラー多項式

2025年1月28日

(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係

$$E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum _{k=0}^{n}C(n,k)(1-2^k)B_k{x}^{n-k}$$

オイラー多項式

2025年1月27日

オイラー多項式の指数型母関数

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_k\left(x\right)}{k!}{t}^k=\frac{2e^{xt}}{e^t+1}$$

オイラー多項式

2025年1月24日

(*)オイラー多項式の微分・積分

$$E_n^{\left(k\right)}\left(x\right)=P(n,k)E_{n-k}\left(x\right)$$