数学その他 2025年2月12日 畳み込みの性質 \[ \mathcal{F}\left(\left(f*g\right)\left(x\right)\right)=\mathcal{F}\left(\left(f\right)\left(x\right)\right)\mathcal{F}\left(\left(g\right)\left(x\right)\right) \]
数学その他 2025年2月10日 畳み込みの定義 \[ \left(f*g\right)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt \]
微分積分 2025年2月4日 反復積分に関するコーシーの公式 \[ \int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt \]
数学その他 2025年2月3日 母関数の逆演算 \[ a_{n}=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^{n}}{dz^{n}}G\left(z\right)\right]_{z=0} \]
オイラー多項式 2025年1月28日 (*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係 \[ E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k} \]
オイラー多項式 2025年1月27日 オイラー多項式の指数型母関数 \[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}\left(x\right)}{k!}t^{k}=\frac{2e^{xt}}{e^{t}+1} \]
オイラー多項式 2025年1月24日 (*)オイラー多項式の微分・積分 \[ E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right) \]
オイラー多項式 2025年1月23日 (*)オイラー多項式の総和 \[ E_{n}\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(x\right)y^{n-k} \]
オイラー多項式 2025年1月20日 オイラー多項式の定義 \[ E_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k} \]
オイラー数・セカント数・タンジェント数 2025年1月17日 2項変換とオイラー数 \[ a_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)b_{n-2k} \] \[ b_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)E_{2k}a_{n-2k} \]
オイラー数・セカント数・タンジェント数 2025年1月16日 タンジェント数・オイラー数・ベルヌーイ数の関係 \[ \begin{cases} T_{2k-1}=\left(-1\right)^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}C\left(2k-1,2j\right)E_{2j} & k\in\mathbb{N}\\ T_{2k}=0 & k\in\mathbb{N}_{0} \end{cases} \]
オイラー数・セカント数・タンジェント数 2025年1月14日 オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義 \[ \cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k} \]
ベルヌーイ多項式 2025年1月9日 (*)ベルヌーイ多項式と下降階乗 \[ P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right) \]
ベルヌーイ多項式 2025年1月8日 ベルヌーイ多項式の指数型母関数 \[ \sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1} \]
ベルヌーイ多項式 2025年1月6日 (*)ベルヌーイ多項式の微分・積分 \[ B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right) \]
ベルヌーイ多項式 2024年12月31日 (*)ベルヌーイ多項式の総和 \[ \sum_{j=0}^{n}C\left(n,j\right)B_{j}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(-x\right) \]
ベルヌーイ多項式 2024年12月30日 (*)ベルヌーイ多項式同士の関係 \[ B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right) \]