[2025年防衛医科大学校医学科・数学問V]
$\frac{6^{44}}{9}$の上2桁を求めよ。
等差数列・等比数列・無限等比級数の和
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(a_{1}r^{k-1}\right)=a_{1}\frac{1-r^{n}}{1-r}
\]
ゼータ関数の通常型母関数
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\zeta\left(k\right)z^{k}=-z\left(\psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\gamma\right)
\]
ディガンマ関数の積分表示
\[
\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z-1}}{1-x}dx
\]
0の極限のべき乗と0の極限乗
\[
\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases}
0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\
1 & \alpha=0\\
\text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)
\end{cases}
\]
[2016年早稲田大学商学部・数学第1問]べき乗の余り
$2^{100}$を$2016$で割った余り。
外接円を持つ4角形の角度と対角線の長さ
\[
p=\sqrt{\frac{cd\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(c^{2}+d^{2}\right)}{ab+cd}}
\]
接弦定理
\[
\angle BAP=\angle BCA
\]
2等分線同士のなす角
\[
\angle CPB=\frac{\pi+\angle CAB}{2}
\]
角の2等分線の性質
\[
\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}
\]
中点連結定理
\[
\left|BC\right|=2\left|MN\right|
\]
チェバの定理・メネラウスの定理とその逆
\[
\frac{\left|AR\right|}{\left|RB\right|}\cdot\frac{\left|BP\right|}{\left|PC\right|}\cdot\frac{\left|CQ\right|}{\left|QA\right|}=1
\]
スチュワートの定理と中線定理と平行4辺形公式
\[
xa^{2}+yb^{2}=c\left(d^{2}+xy\right)
\]
3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
\[
\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}
\]
チャップル・オイラーの定理とオイラーの不等式と外接円の半径と内接円の半径の比
\[
\left|IJ\right|^{2}=R^{2}-2Rr
\]
双心4角形の面積
\[
S=\sqrt{abcd}
\]
円に内接する4角形の対角の和
\[
\angle DAB+\angle BCD=\pi
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[
\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!
\]
ζ(2)のような総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+1}=?
\]
定数係数隣接3項間線形非同次漸化式
\[
pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=s
\]
定数係数隣接3項間線形(同次・非同次)漸化式
\[
pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=f\left(x\right)
\]
方べきの定理
\[
\left|PA_{1}\right|\left|PA_{2}\right|=\left|OP\right|^{2}-r^{2}
\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[
\angle BOA=2\angle BPA
\]
面積ベクトルと角度の符号
\[
\overrightarrow{\triangle ABC}:=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}
\]
連分数の収束子の奇偶性
\[
\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}
\]