正方行列は3角行列と相似
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
\[A=S+T\]
正規行列の性質
正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値である。
直交行列の性質
直交行列$A$の逆行列$A^{-1}$も直交行列になる。
ユニタリ行列の性質
ユニタリ行列$U$の逆行列$U^{-1}$もユニタリ行列である。
反エルミート行列の性質
反エルミート行列の対角成分の実部は0である。
エルミート行列の性質
エルミート行列$H$の逆行列$H^{-1}$はエルミート行列になる。
反対称行列の性質
反対称行列同士の和は反対称行列になる。
対称行列の性質
対称行列同士の和は対称行列になる。
対角行列の性質
対角行列は積に関して可換である。
標準エルミート内積の性質
\[\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \]
行列の指数関数の性質
\[\left(e^{A}\right)^{-1}=e^{-A}\]
(*)行列の相似の性質
行列の相似は同値関係
トレースの性質
\[\tr\left(AB\right)=\tr\left(BA\right)\]
逆行列の性質
\[\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]
正則行列の性質
\[\det\left(A\right)\ne0\Leftrightarrow\ker\left(A\right)=\boldsymbol{0}\]
エルミート転置の性質
\[\left(AB\right)^{*}=B^{*}A^{*}\]
複素共役行列の性質
\[\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}\]
転置行列の性質
\[\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}\]
固有ベクトルの性質
異なる固有値に属する固有ベクトルは1次独立である。
固有値の性質
\[\tr\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\]
行列の対角化可能性
\[\text{対角化可能}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n\]
固有空間の次元と幾何学的重複度
\[\dim W\left(\lambda_{0}\right)=n-\rank\left(\lambda_{0}I-A\right)\]
線形包の定義
\[\left\langle S\right\rangle =\left\{ \sum_{i=1}^{r}c_{i}\boldsymbol{v}_{i};r<\infty,\left\{ \boldsymbol{v}_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq S,\left\{ c_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq K\right\} \]
固有方程式・固有値・固有ベクトルと固有空間
\[W\left(\lambda\right)=\ker\left(A-\lambda I\right)\]