ブロック対角行列の逆行列
\[\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1} & O & \cdots & O\\O & A_{2,2} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{p,p}\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}\end{array}\right)\]
対称ブロック分けのトーレス
\[\tr\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p}\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right)\]
ブロック対角行列の和・積・べき乗
\[\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & O & \cdots & O\\O & A_{22} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{pp}\end{array}\right)^{k}=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_{pp}^{k}\end{array}\right)\]
ブロック3角行列の行列式
\[\det\left(\begin{array}{cccc}A_{1,1} & O & \cdots & O\\A_{1,2} & A_{2,2} & \ddots & O\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\A_{1,p} & A_{2,p} & \cdots & A_{p,p}\end{array}\right)=\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right)\]
2×2ブロック行列の逆行列
\[\left(\begin{array}{cc}A & B\\O & D\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1}\\O & D^{-1}\end{array}\right)\]
2×2ブロック行列の行列式
\[\det\left(\begin{array}{cc}A & O\\C & D\end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)\]
2×2ブロック対称分けの積の分割
\[\left(\begin{array}{cc}A & B\\C & D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I & O\\CA^{-1} & I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A & O\\O & D-CA^{-1}B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I & A^{-1}B\\O & I\end{array}\right)\]
ブロック行列同士の積
\[\left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j}\]
ブロック行列と色々なブロック行列の定義
ケーリー・ハミルトンの定理
\[p_{A}\left(A\right)=O\]
正方行列は3角行列と相似
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
\[A=S+T\]
正規行列の性質
正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値である。
直交行列の性質
直交行列$A$の逆行列$A^{-1}$も直交行列になる。
ユニタリ行列の性質
ユニタリ行列$U$の逆行列$U^{-1}$もユニタリ行列である。
反エルミート行列の性質
反エルミート行列の対角成分の実部は0である。
エルミート行列の性質
エルミート行列$H$の逆行列$H^{-1}$はエルミート行列になる。
反対称行列の性質
反対称行列同士の和は反対称行列になる。
対称行列の性質
対称行列同士の和は対称行列になる。
対角行列の性質
対角行列は積に関して可換である。
標準エルミート内積の性質
\[\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \]