色々な行列の定義
\[M_{n}\left(K\right)\]
行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義
\[\left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j}\]
行列の定義
\[A=\left(a_{i,j}\right)\]
『3角関数3つでの積和公式・和積公式』を更新しました。
間違えずに極限を求められるかな
\[\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right)=?\]
ガウス積分のような定積分
\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+e^{x^{2}}}dx=?\]
グー・チョキ・パーを出した回数で何勝何敗かわかるかな？
[2016年早稲田大学商学部・数学第1問]3角関数の総和
\[\left(\sum_{k=1}^{2016}k\sin\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}\right)\sin\frac{\pi}{2016}=?\]
多重対数関数同士の積の積分
\[\int\Li_{0}\left(z\right)\Li_{0}\left(z\right)dz=\frac{1}{1-z}+z-2\Li_{1}\left(z\right)+C\]
逆数の多重対数関数
\[\Li_{n}\left(\frac{1}{z}\right)=\left(-1\right)^{n+1}\Li_{n}\left(z\right)+\left(1+\left(-1\right)^{n}\right)\zeta\left(n\right)+\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor }\left\{ 2\zeta\left(2\left(k+1\right)\right)\frac{\Log^{n-2\left(k+1\right)}z}{\left(n-2\left(k+1\right)\right)!}\right\} +\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n}z}{n!}+\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n-1}z}{\left(n-1\right)!}\left(\Log\left(1-z\right)-\Log\left(z-1\right)\right)\]
多重対数関数の関係
\[\Li_{n}\left(z\right)+\Li_{n}\left(-z\right)=\frac{1}{2^{n-1}}\Li_{n}\left(z^{2}\right)\]
不完全ベータ関数の級数表示
\[B\left(z;\alpha,\beta\right)=z^{\alpha}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C\left(k-\beta,k\right)}{\alpha+k}z^{k}\]
2項係数の総和その他
\[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{C\left(k-n,k\right)}{k}=-H_{n-1}\]
2項係数の関係その他
\[C\left(\alpha,\beta\right)C\left(\beta,\gamma\right)=C\left(\alpha,\gamma\right)C\left(\alpha-\gamma,\beta-\gamma\right)\]
分母分子にxのべき乗を含む積分
\[\int\frac{x^{\alpha}}{x^{\beta}+\gamma}dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\left(\alpha+1\right)\gamma}F\left(1,\frac{\alpha+1}{\beta};\frac{\alpha+1}{\beta}+1;-\frac{x^{\beta}}{\gamma}\right)+C\]
正n角形の面積
\[S=\frac{na^{2}}{4\tan\frac{\pi}{n}}\]
n乗同士の和の基本対称式表示
\[a^{k}+b^{k}=\left(1-\delta_{0,k}\right)\sum_{j=0}^{\left\lfloor \frac{k}{2}\right\rfloor }\left(-1\right)^{j}\frac{k}{k-j}C\left(k-j,j\right)\left(a+b\right)^{k-2j}\left(ab\right)^{j}+2\delta_{0,k}\]
点と超平面・直線の距離
\[d=\frac{\left|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{OP}+a\right|}{\left|\boldsymbol{n}\right|}\]
[2025年防衛医科大学校医学科・数学問V]
$\frac{6^{44}}{9}$の上2桁を求めよ。
等差数列・等比数列・無限等比級数の和
\[\sum_{k=1}^{n}\left(a_{1}r^{k-1}\right)=a_{1}\frac{1-r^{n}}{1-r}\]
ゼータ関数の通常型母関数
\[\sum_{k=2}^{\infty}\zeta\left(k\right)z^{k}=-z\left(\psi\left(z\right)+\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\gamma\right)\]
ディガンマ関数の積分表示
\[\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z-1}}{1-x}dx\]
0の極限のべき乗と0の極限乗
\[\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases}0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\1 & \alpha=0\\\text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)\end{cases}\]
[2016年早稲田大学商学部・数学第1問]べき乗の余り
$2^{100}$を$2016$で割った余り。