集合が同じで位相が異なる空間
$\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)$が位相空間ならば$\left(X,\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\right)$も位相空間になる。
ハウスドルフ空間とT1空間の点列の極限点
ハウスドルフ空間ならば、点列の極限点が存在すれば一意的に決まる。
分母にxの20乗がある定積分
\[
\int_{2}^{\infty}\frac{x^{9}}{x^{20}-48x^{10}+575}dx=?
\]
対称な5次方程式
\[
\left(x+y\right)^{5}=x^{5}+y^{5}
\]
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
\[
\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right)
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
量化記号(全称命題・存在命題)の分配
\[
\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)
\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
\[
\lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right)
\]
量化記号(全称命題・存在命題)の定義
\[
\forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right)
\]
1=2の証明
この証明はどこが間違えてる？
カタラン数の漸化式
\[
C_{n+1}=\frac{2\left(2n+1\right)}{n+2}C_{n}
\]
カタラン数の別表現
\[
C_{n}=\frac{1}{n+1}C\left(2n,n\right)
\]
カタラン数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}x^{k}=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
\]
カタラン数の定義
\[
C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{k}C_{n-k}
\]