1のn乗根のべき乗の総和
1のn乗根のべき乗の総和
\(n\in\mathbb{N},m\in\mathbb{Z}\)とする。
このとき、
\[ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{\;k}\right)^{m}=n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)} \] が成り立つ。
ここで、\(\omega_{n}\)は1の\(n\)乗根
\[ \omega_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}i} \] である。
\(n\in\mathbb{N},m\in\mathbb{Z}\)とする。
このとき、
\[ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{\;k}\right)^{m}=n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)} \] が成り立つ。
ここで、\(\omega_{n}\)は1の\(n\)乗根
\[ \omega_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}i} \] である。
\(n=3,m=2\)のとき
\begin{align*} \sum_{k=0}^{2}\left(e^{\frac{2k\pi}{3}i}\right)^{2} & =e^{0i}+e^{\frac{4\pi}{3}i}+e^{\frac{8\pi}{3}i}\\ & =e^{0i}+e^{\frac{4\pi}{3}i}+e^{\frac{2\pi}{3}i}\\ & =0 \end{align*}\(n=4,m=2\)のとき
\begin{align*} \sum_{k=0}^{3}\left(e^{\frac{2k\pi}{4}i}\right)^{2} & =e^{0i}+e^{\pi i}+e^{2\pi i}+e^{3\pi i}\\ & =0 \end{align*}\(n=2,m=2\)のとき
\begin{align*} \sum_{k=0}^{1}\left(e^{\frac{2k\pi}{2}i}\right)^{2} & =e^{0i}+e^{2\pi i}\\ & =2 \end{align*}\(n=2,m=4\)のとき
\begin{align*} \sum_{k=0}^{1}\left(e^{\frac{2k\pi}{2}i}\right)^{4} & =e^{0i}+e^{4\pi i}\\ & =2 \end{align*}\(\mod\left(m,n\right)=0\)のとき、
このときある整数\(j\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(m=jn\)となるので、\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{\;k}\right)^{m} & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{\frac{2\pi k}{n}i}\right)^{m}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{\frac{2\pi m}{n}i}\right)^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i}\right)^{jk}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}1^{jk}\\ & =n\\ & =n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)} \end{align*}
\(\mod\left(m,n\right)\ne0\)のとき、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{\;k}\right)^{m} & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{\frac{2\pi k}{n}i}\right)^{m}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{\frac{2\pi m}{n}i}\right)^{k}\\ & =\frac{1-\left(e^{\frac{2\pi m}{n}i}\right)^{n}}{1-e^{\frac{2\pi km}{n}i}}\\ & =\frac{1-e^{2\pi mi}}{1-e^{\frac{2\pi mk}{n}i}}\\ & =0\\ & =n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)} \end{align*}-
これらより、\(\mod\left(m,n\right)=0\)のときも\(\mod\left(m,n\right)\ne0\)のときも、\[ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{\;k}\right)^{m}=n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)} \] が成り立つので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 1のn乗根のべき乗の総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pi6fyhtk/ |
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ラマヌジャンの無限根
\[
1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3
\]
積の形の無限多重根号
\[
\sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\}
\]
総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)
\]
分母と分子交互に根号の総乗
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt[2k-1]{\alpha}}{\sqrt[2k]{\alpha}}=2^{\Log\alpha}
\]