符号関数の偏角・対数
符号関数の偏角・対数
\(\alpha\ne0\)とする。
\(\alpha\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\sgn\alpha=\Arg\alpha \](2)
\[ \Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha \](1)
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =-i\Log\sgn\sgn\alpha\\ & =-i\Log\sgn\alpha\\ & =\Arg\alpha \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =\Arg\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Arg\alpha \end{align*}(2)
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\ln\left|\sgn\alpha\right|+i\Arg\sgn\alpha\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\Log\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Log\alpha-\ln\left|\alpha\right|\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 符号関数の偏角・対数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pjik7qf0/ |
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2乗のルート
\[
\sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|\sqrt{\sgn^{2}\left(\alpha\right)}
\]
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
偏角の和と積の偏角
\[
\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)
\]
逆数の偏角と対数
\[
\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}
\]