ベルヌーイ数

ベルヌーイ数の定義

by nomura · 2024年12月17日

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ベルヌーイ数の定義
ベルヌーイ数

B_{n}

は次の指数型母関数で定義される。

\frac{x}{e^{x} - 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{B_{k}}{k!} x^{k}

ベルヌーイ数一覧

\begin{array}{cc} n & B_{n} \\ 0 & 1 \\ 1 & - \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & 0 \\ 4 & - \frac{1}{30} \\ 5 & 0 \\ 6 & \frac{1}{42} \\ 7 & 0 \\ 8 & - \frac{1}{30} \\ 9 & 0 \\ 10 & \frac{5}{66} \\ 11 & 0 \\ 12 & - \frac{691}{2, 730} \\ 13 & 0 \\ 14 & \frac{7}{6} \\ 15 & 0 \\ 16 & - \frac{3, 617}{510} \\ 17 & 0 \\ 18 & \frac{43, 867}{798} \\ 19 & 0 \\ 20 & - \frac{174, 611}{330} \\ 21 & 0 \\ 22 & \frac{854, 513}{138} \\ 23 & 0 \\ 24 & - \frac{236, 364, 091}{2, 730} \\ 25 & 0 \\ 26 & \frac{8, 553, 103}{6} \\ 27 & 0 \\ 28 & - \frac{23, 749, 461, 029}{870} \\ 29 & 0 \\ 30 & \frac{8, 615, 841, 276, 005}{14, 322} \end{array}

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ページ情報

タイトル	ベルヌーイ数の定義
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ベルヌーイ数の一般項

B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} k^{n} \sum_{j = k}^{n} \frac{C (j, k)}{j + 1}

2項変換とベルヌーイ数

b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} C (n, k) B_{k} a_{n - k}

(*)ベルヌーイ数の総和と漸化式

δ_{0, n} = \sum_{k = 0}^{n} C (n + 1, k) B_{k}

奇数ベルヌーイ数

B_{2 n - 1} = - \frac{1}{2} δ_{1, n}