ベルヌーイ数の定義
ベルヌーイ数の定義
ベルヌーイ数\(B_{n}\)は次の指数型母関数で定義される。
\[ \frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k} \]
ベルヌーイ数\(B_{n}\)は次の指数型母関数で定義される。
\[ \frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k} \]
ベルヌーイ数一覧
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & B_{n}\\ \hline 0 & 1\\ \hline 1 & -\frac{1}{2}\\ \hline 2 & \frac{1}{6}\\ \hline 3 & 0\\ \hline 4 & -\frac{1}{30}\\ \hline 5 & 0\\ \hline 6 & \frac{1}{42}\\ \hline 7 & 0\\ \hline 8 & -\frac{1}{30}\\ \hline 9 & 0\\ \hline 10 & \frac{5}{66}\\ \hline 11 & 0\\ \hline 12 & -\frac{691}{2,730}\\ \hline 13 & 0\\ \hline 14 & \frac{7}{6}\\ \hline 15 & 0\\ \hline 16 & -\frac{3,617}{510}\\ \hline 17 & 0\\ \hline 18 & \frac{43,867}{798}\\ \hline 19 & 0\\ \hline 20 & -\frac{174,611}{330}\\ \hline 21 & 0\\ \hline 22 & \frac{854,513}{138}\\ \hline 23 & 0\\ \hline 24 & -\frac{236,364,091}{2,730}\\ \hline 25 & 0\\ \hline 26 & \frac{8,553,103}{6}\\ \hline 27 & 0\\ \hline 28 & -\frac{23,749,461,029}{870}\\ \hline 29 & 0\\ \hline 30 & \frac{8,615,841,276,005}{14,322} \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & B_{n}\\ \hline 0 & 1\\ \hline 1 & -\frac{1}{2}\\ \hline 2 & \frac{1}{6}\\ \hline 3 & 0\\ \hline 4 & -\frac{1}{30}\\ \hline 5 & 0\\ \hline 6 & \frac{1}{42}\\ \hline 7 & 0\\ \hline 8 & -\frac{1}{30}\\ \hline 9 & 0\\ \hline 10 & \frac{5}{66}\\ \hline 11 & 0\\ \hline 12 & -\frac{691}{2,730}\\ \hline 13 & 0\\ \hline 14 & \frac{7}{6}\\ \hline 15 & 0\\ \hline 16 & -\frac{3,617}{510}\\ \hline 17 & 0\\ \hline 18 & \frac{43,867}{798}\\ \hline 19 & 0\\ \hline 20 & -\frac{174,611}{330}\\ \hline 21 & 0\\ \hline 22 & \frac{854,513}{138}\\ \hline 23 & 0\\ \hline 24 & -\frac{236,364,091}{2,730}\\ \hline 25 & 0\\ \hline 26 & \frac{8,553,103}{6}\\ \hline 27 & 0\\ \hline 28 & -\frac{23,749,461,029}{870}\\ \hline 29 & 0\\ \hline 30 & \frac{8,615,841,276,005}{14,322} \\\hline \end{array} \]
ページ情報
| タイトル | ベルヌーイ数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pk5wpmi6/ |
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ベルヌーイ数の一般項
\[
B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{n}\sum_{j=k}^{n}\frac{C\left(j,k\right)}{j+1}
\]
奇数ベルヌーイ数
\[
B_{2n-1}=-\frac{1}{2}\delta_{1,n}
\]
2項変換とベルヌーイ数
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}a_{n-k}
\]
ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係
\[
\delta_{1,n}=\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)B_{n}
\]