(1)

\(\left(X,\preceq\right)\)は反射律と反対称律を満たすので、\(x\preceq y\land y\preceq x\Leftrightarrow x=y\)が成り立ち、
\begin{align*} x\prec y\leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y & \Rightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow\left(x\preceq y\land x\ne y\right)\lor x=y\\ & \Leftrightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow x\preceq y\lor x=y\\ & \Leftrightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow x\preceq y\lor\left(x\preceq y\land y\preceq x\right)\\ & \Leftrightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow x\preceq y \end{align*} より、
\[ x\prec y\leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\Rightarrow x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y \] が成り立つ。

(2)

\(\left(X,\prec\right)\)は非反射律を満たすので、
\begin{align*} x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y & \Rightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow\left(x\prec y\lor x=y\right)\land x\ne y\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land x\ne y\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land\left(\lnot\left(x\prec y\right)\lor x\ne y\right)\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land\lnot\left(x\prec y\land x=y\right)\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land\lnot\left(x\prec x\land x=y\right)\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y \end{align*} より、
\[ x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y\Rightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y \] が成り立つ。

(3)

\(\left(X,\preceq\right)\)が半順序関係を満たすなら\(\left(X,\prec\right)\)は狭義半順序関係を満たし、\(\left(X,\prec\right)\)が狭義半順序関係を満たすなら\(\left(X,\preceq\right)\)は半順序関係を満たすので、
\[ x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y \] となる。