半順序関係と狭義半順序関係
半順序関係と狭義半順序関係
\[ x\preceq y\Leftrightarrow x\prec y\lor x=y \] が成り立つ。
\[ x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y \] が成り立つ。
\[ x\prec y\leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\Leftrightarrow x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y \] となる。
(1)
\(\left(X,\preceq\right)\)が半順序関係を満たすとき\(x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\)と定めると、\[ x\preceq y\Leftrightarrow x\prec y\lor x=y \] が成り立つ。
(2)
\(\left(X,\prec\right)\)が狭義半順序関係を満たすとき\(x\preceq y\Leftrightarrow x\prec y\lor x=y\)と定めると、\[ x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y \] が成り立つ。
(3)
\(\left(X,\preceq\right)\)が半順序関係を満たす、または\(\left(X,\prec\right)\)が狭義半順序関係を満たすとき\[ x\prec y\leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\Leftrightarrow x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y \] となる。
半順序関係\(\preceq\)は反射律を満たすので反対称律の逆が成り立ち、半順序関係なので反対称律を満たすので、
\[ x\preceq y\land y\preceq x\Leftrightarrow x=y \] が成り立つ。
\[ x\preceq y\land y\preceq x\Leftrightarrow x=y \] が成り立つ。
(1)
\(\left(X,\preceq\right)\)は反射律と反対称律を満たすので、\(x\preceq y\land y\preceq x\Leftrightarrow x=y\)が成り立ち、\begin{align*} x\prec y\leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y & \Rightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow\left(x\preceq y\land x\ne y\right)\lor x=y\\ & \Leftrightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow x\preceq y\lor x=y\\ & \Leftrightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow x\preceq y\lor\left(x\preceq y\land y\preceq x\right)\\ & \Leftrightarrow x\prec y\lor x=y\leftrightarrow x\preceq y \end{align*} より、
\[ x\prec y\leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\Rightarrow x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y \] が成り立つ。
(2)
\(\left(X,\prec\right)\)は非反射律を満たすので、\begin{align*} x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y & \Rightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow\left(x\prec y\lor x=y\right)\land x\ne y\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land x\ne y\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land\left(\lnot\left(x\prec y\right)\lor x\ne y\right)\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land\lnot\left(x\prec y\land x=y\right)\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y\land\lnot\left(x\prec x\land x=y\right)\\ & \Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y \end{align*} より、
\[ x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y\Rightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y \] が成り立つ。
(3)
\(\left(X,\preceq\right)\)が半順序関係を満たすなら\(\left(X,\prec\right)\)は狭義半順序関係を満たし、\(\left(X,\prec\right)\)が狭義半順序関係を満たすなら\(\left(X,\preceq\right)\)は半順序関係を満たすので、\[ x\preceq y\leftrightarrow x\prec y\lor x=y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\leftrightarrow x\prec y \] となる。
ページ情報
| タイトル | 半順序関係と狭義半順序関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pnyc7h56/ |
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順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序
\[
\succeq:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\}
\]
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義
\[
a\preceq_{X}b\Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)
\]
順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。