(*)ガンマ関数と複素数

\(0<\Re\left(\alpha\right)\land\left|\theta\right|<\frac{\pi}{2}\)のとき

\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_{1}+C_{2}-C}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left(\int_{C_{1}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz+\int_{C_{2}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz-\int_{C}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\right) \end{align*} ここで積分経路は、\(C_{1}\)は実軸上を\(r:0\rightarrow R\)として、\(C_{2}\)は\(R\)を一定で\(Re^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow\theta\)として、\(C_{3}\)は偏角\(\theta\)を一定で\(re^{i\theta}\)を\(r:R\rightarrow0\)とする。
また、\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)としてこのとき\(C\)は、\(0\rightarrow R\rightarrow Re^{i\theta}\rightarrow0\)を通り1周する。
右辺第1項は\(0<\Re\left(\alpha\right)\)なので、
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_{1}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz & =\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-r}dr\\ & =\Gamma\left(\alpha\right) \end{align*} となる。
右辺第2項は、\(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)のとき、\(\frac{2}{\pi}\theta\leq\sin\theta\)より、
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{C_{2}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\right| & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{_{0}}^{\theta}\left(Re^{i\theta}\right)^{\alpha-1}e^{-Re^{i\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}\left|\left(Re^{i\theta}\right)^{\alpha-1}e^{-Re^{i\theta}}iRe^{i\theta}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}\left|\left(Re^{i\theta}\right)^{\alpha}e^{-Re^{i\theta}}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}\left|R^{\alpha}\left(e^{i\theta}\right)^{\alpha}e^{-Re^{i\theta}}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}R^{\Re\left(\alpha\right)}\left|e^{i\theta}\right|^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-\Im\left(\alpha\right)\Arg\left(e^{i\theta}\right)}e^{-R\cos\theta}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}e^{-\Im\left(\alpha\right)\theta}e^{-R\cos\theta}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}e^{-\Im\left(\alpha\right)\theta}e^{-R\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}d\theta\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}e^{\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\theta}e^{-R\left(1-\frac{2}{\pi}\theta\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-R}\int_{_{0}}^{\left|\theta\right|}e^{\left(\frac{2R}{\pi}+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\right)\theta}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-R}\frac{1}{\frac{2R}{\pi}+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}\left[e^{\left(\frac{2R}{\pi}+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\right)\theta}\right]_{0}^{\left|\theta\right|}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}e^{-R}\frac{1}{\frac{2R}{\pi}+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}\left(e^{\left(\frac{2R}{\pi}+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\right)\left|\theta\right|}-1\right)\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}\frac{1}{\frac{2R}{\pi}+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}\left(e^{-R\left(1-\frac{2}{\pi}\left|\theta\right|\right)+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\left|\theta\right|}-e^{-R}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_{2}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=0 \] となる。
右辺第3項は経路内に特異点がないので、
\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=0 \] となる。
これらより、
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left(\int_{C_{1}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz+\int_{C_{2}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz-\int_{C}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\right)\\ & =\Gamma\left(\alpha\right) \end{align*} となるので\(0<\Re\left(\alpha\right)\land\left|\theta\right|<\frac{\pi}{2}\)のとき題意は成り立つ。

\(0<\Re\left(\alpha\right)<1\land\left|\theta\right|=\frac{\pi}{2}\)のとき、

途中まで同じ。
右辺第1項は\(0<\Re\left(\alpha\right)\)なので、
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_{1}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz & =\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-r}dr\\ & =\Gamma\left(\alpha\right) \end{align*} となる。
右辺第2項は、\(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\)で\(\Re\left(\alpha\right)<1\)なので、
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{C_{2}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\right| & =\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}\frac{1}{\frac{2R}{\pi}+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}\left(e^{-R\left(1-\frac{2}{\pi}\left|\theta\right|\right)+\left|\Im\left(\alpha\right)\right|\left|\theta\right|}-e^{-R}\right)\\ & =\frac{\pi}{2}\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)}\frac{1}{R+\frac{\pi}{2}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}\left(e^{\frac{\pi}{2}\left|\Im\left(\alpha\right)\right|}-e^{-R}\right)\\ & =\frac{\pi}{2}\lim_{R\rightarrow\infty}R^{\Re\left(\alpha\right)-1}\\ & =0 \end{align*} となる。
右辺第3項は経路内に特異点がないので、
\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=0 \] となる。
これらより、
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left(\int_{C_{1}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz+\int_{C_{2}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz-\int_{C}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\right)\\ & =\Gamma\left(\alpha\right) \end{align*} となるので\(0<\Re\left(\alpha\right)<1\land\left|\theta\right|=\frac{\pi}{2}\)のとき題意は成り立つ。

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これらより、\(\left(0<\Re\left(\alpha\right)\land\left|\theta\right|<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(0<\Re\left(\alpha\right)<1\land\left|\theta\right|=\frac{\pi}{2}\right)\)のとき、
\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right) \] が成り立つので題意は成り立つ。

収束しないときの証明

題意より収束しないための条件は、
\begin{align*} & \lnot\left(\left(0<\Re\left(\alpha\right)\land\left|\theta\right|<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(0<\Re\left(\alpha\right)<1\land\left|\theta\right|=\frac{\pi}{2}\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \lnot\left(0<\Re\left(\alpha\right)\land\left(\left|\theta\right|<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(\Re\left(\alpha\right)<1\land\left|\theta\right|=\frac{\pi}{2}\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \lnot\left(0<\Re\left(\alpha\right)\land\left(\Re\left(\alpha\right)<1\lor\left|\theta\right|<\frac{\pi}{2}\right)\land\left|\theta\right|\leq\frac{\pi}{2}\right)\\ \Leftrightarrow & \Re\left(\alpha\right)\leq0\lor\left(1\leq\Re\left(\alpha\right)\land\frac{\pi}{2}\leq\left|\theta\right|\right)\lor\frac{\pi}{2}<\left|\theta\right|\\ \Leftrightarrow & \Re\left(\alpha\right)\leq0\lor\left(1\leq\Re\left(\alpha\right)\land\left(\frac{\pi}{2}=\left|\theta\right|\lor\frac{\pi}{2}<\left|\theta\right|\right)\right)\lor\frac{\pi}{2}<\left|\theta\right|\\ \Leftrightarrow & \Re\left(\alpha\right)\leq0\lor\left(1\leq\Re\left(\alpha\right)\land\frac{\pi}{2}=\left|\theta\right|\right)\lor\left(1\leq\Re\left(\alpha\right)\land\frac{\pi}{2}<\left|\theta\right|\right)\lor\frac{\pi}{2}<\left|\theta\right|\\ \Leftrightarrow & \Re\left(\alpha\right)\leq0\lor\left(1\leq\Re\left(\alpha\right)\land\left|\theta\right|=\frac{\pi}{2}\right)\lor\frac{\pi}{2}<\left|\theta\right| \end{align*} となるので\(\Re\left(\alpha\right)\leq0,1\leq\Re\left(\alpha\right)\land\left|\theta\right|=\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}<\left|\theta\right|\)の3つの場合について場合分けする。
以下略