エルミートと交換子・反交換子
エルミートと交換子・反交換子
すなわち、
\[ A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left[A,B\right]^{*}=-\left[A,B\right] \] となる。
すなわち、
\[ A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left\{ A,B\right\} ^{*}=\left\{ A,B\right\} \] となる。
(1)
\(A,B\)が共にエルミートであれば交換子は反エルミートとなる。すなわち、
\[ A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left[A,B\right]^{*}=-\left[A,B\right] \] となる。
(2)
\(A,B\)が共にエルミートであれば反交換子もエルミートとなる。すなわち、
\[ A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left\{ A,B\right\} ^{*}=\left\{ A,B\right\} \] となる。
(1)
\begin{align*} \left[A,B\right]^{*} & =\left(AB-BA\right)^{*}\\ & =B^{*}A^{*}-A^{*}B^{*}\\ & =BA-AB\\ & =-\left(AB-BA\right)\\ & =-\left[A,B\right] \end{align*} これより、\(A,B\)が共にエルミートであれば\(\left[A,B\right]\)は反エルミートとなる。(2)
\begin{align*} \left\{ A,B\right\} ^{*} & =\left(AB+BA\right)^{*}\\ & =B^{*}A^{*}+A^{*}B^{*}\\ & =BA+AB\\ & =\left\{ A,B\right\} \end{align*} これより、\(A,B\)が共にエルミートであれば\(\left\{ A,B\right\} \)はエルミートとなる。
ページ情報
| タイトル | エルミートと交換子・反交換子 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pourwxek/ |
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交換子の基本的性質(交換関係)
\[
\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]
\]
交換子が定数になるときの性質
\[
\left[A^{n},B\right]=n\left[A,B\right]A^{n-1}
\]
ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(BCH公式)
\[
e^{A}e^{B}=\exp\left(A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{12}\left[A-B,\left[A,B\right]\right]+\cdots\right)
\]
積の交換子の性質
\[
\left[A^{n},B\right]=\sum_{k=1}^{n}A^{n-k}\left[A,B\right]A^{k-1}
\]