デデキント切断の定義
デデキント切断の定義
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)を次の条件を満たす集合\(A,B\)に分ける。
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)を次の条件を満たす集合\(A,B\)に分ける。
(a)
\[ X=A\cup B \](b)
\[ A\cap B=\emptyset\land A\ne\emptyset\land B\ne\emptyset \](c)
\[ a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b \] このとき、組\(\left(A,B\right)\)をデデキント切断という。デデキント切断\(\left(A,B\right)\)は\(A\)に最大元のあるかないかで2通り、\(B\)に最小元があるかないかで2通りの合計4通りに分けられる。
(1)
\(A\)に最大元、\(B\)に最小元がある。(2)
\(A\)には最大元があるが、\(B\)には最小元がない。(3)
\(A\)には最大元がないが、\(B\)には最小元がある。(4)
\(A\)に最大元がなく、\(B\)にも最小元がない。
ページ情報
| タイトル | デデキント切断の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/prq8jifu/ |
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部分順序集合
\[
b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}
\]
順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義
\[
a\preceq_{X}b\Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)
\]
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[
A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}
\]