デデキント切断の定義

by nomura · 2023年10月9日

デデキント切断の定義
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)を次の条件を満たす集合\(A,B\)に分ける。

(a)

\[ X=A\cup B \]

\[ A\cap B=\emptyset\land A\ne\emptyset\land B\ne\emptyset \]

\[ a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b \] このとき、組\(\left(A,B\right)\)をデデキント切断という。

デデキント切断\(\left(A,B\right)\)は\(A\)に最大元のあるかないかで2通り、\(B\)に最小元があるかないかで2通りの合計4通りに分けられる。

\(A\)に最大元、\(B\)に最小元がある。

\(A\)には最大元があるが、\(B\)には最小元がない。

\(A\)には最大元がないが、\(B\)には最小元がある。

\(A\)に最大元がなく、\(B\)にも最小元がない。

ページ情報

タイトル	デデキント切断の定義
URL	https://www.nomuramath.com/prq8jifu/
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