デデキント切断の定義
デデキント切断の定義
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)を次の条件を満たす集合\(A,B\)に分ける。
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)を次の条件を満たす集合\(A,B\)に分ける。
(a)
\[ X=A\cup B \](b)
\[ A\cap B=\emptyset\land A\ne\emptyset\land B\ne\emptyset \](c)
\[ a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b \] このとき、組\(\left(A,B\right)\)をデデキント切断という。デデキント切断\(\left(A,B\right)\)は\(A\)に最大元のあるかないかで2通り、\(B\)に最小元があるかないかで2通りの合計4通りに分けられる。
(1)
\(A\)に最大元、\(B\)に最小元がある。(2)
\(A\)には最大元があるが、\(B\)には最小元がない。(3)
\(A\)には最大元がないが、\(B\)には最小元がある。(4)
\(A\)に最大元がなく、\(B\)にも最小元がない。
ページ情報
| タイトル | デデキント切断の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/prq8jifu/ |
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整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
整列集合の基本的な性質
\[
X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset
\]
超限帰納法
\[
P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)
\]
順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。