スターリング数の母関数
スターリング数の母関数
スターリング数の母関数は次のようになる。
第1種スターリング数
第2種スターリング数
スターリング数の母関数は次のようになる。
第1種スターリング数
(1)通常型母関数
\[ \sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}=P\left(x,n\right) \](2)指数型母関数
\[ \sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!} \](3)
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}y^{k}=\left(1+x\right)^{y} \]第2種スターリング数
(4)通常型母関数
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{n} & =\frac{1}{x}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{x}-k\right)}{\Gamma\left(1+\frac{1}{x}\right)}\\ & =x^{k}\prod_{m=1}^{k}\left(1-mx\right)^{-1} \end{align*}(5)指数型母関数
\[ \sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\left(e^{x}-1\right)^{k}}{k!} \](6)
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}y^{k}=\exp\left(y\left(e^{x}-1\right)\right) \](7)
\[ \sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)P\left(x,k\right)=x^{n} \](1)
第1種スターリング数の定義なので成り立つ。(1)-2
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)x^{k} & =\sum_{j=0}^{\infty}P\left(x,j\right)\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}P\left(x,j\right)\delta_{n,j}\\ & =P\left(x,n\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!} & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,j\right)\frac{x^{n}}{n!}\delta_{j,k}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,j\right)\frac{x^{n}}{n!}\frac{P\left(j,k\right)}{k!}\delta_{j,k}\\ & =\left[\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,j\right)\frac{x^{n}}{n!}\frac{P\left(j,k\right)}{k!}\frac{1}{P\left(j,k\right)}\frac{\partial^{k}}{\partial y^{k}}y^{j}\right]_{y\rightarrow0}\\ & =\frac{1}{k!}\left[\frac{\partial^{k}}{\partial y^{k}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{j=0}^{\infty}S_{1}\left(n,j\right)y^{j}\right]_{y\rightarrow0}\\ & =\frac{1}{k!}\left[\frac{\partial^{k}}{\partial y^{k}}\sum_{n=0}^{\infty}P\left(y,n\right)\frac{x^{n}}{n!}\right]_{y\rightarrow0}\\ & =\frac{1}{k!}\left[\frac{\partial^{k}}{\partial y^{k}}\left(1+x\right)^{y}\right]_{y\rightarrow0}\\ & =\frac{1}{k!}\left[\left(1+x\right)^{y}\log^{k}\left(1+x\right)\right]_{y\rightarrow0}\\ & =\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!} \end{align*}(3)
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}y^{k} & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)y^{k}\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}P\left(y,n\right)\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}C\left(y,n\right)x^{n}\\ & =\left(1+x\right)^{y} \end{align*}(4)
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{n} & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}x^{n}\\ & =\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)\sum_{n=0}^{\infty}j^{n}x^{n}\\ & =\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)\frac{1}{1-jx}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}-j}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{k}}{xk!}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(\frac{1}{x}-k\right)C\left(\frac{1}{x},k\right)}\\ & =\frac{\left(\frac{1}{x}-k\right)!}{x\left(\frac{1}{x}-k\right)\frac{1}{x}!}\\ & =\frac{1}{x}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{x}-k\right)}{\Gamma\left(1+\frac{1}{x}\right)}\\ & =\frac{1}{xk!}B\left(\frac{1}{x}-k,k+1\right) \end{align*} 更に計算を進めると、\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{n} & =\frac{1}{x}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{x}-k\right)}{\Gamma\left(1+\frac{1}{x}\right)}\\ & =\frac{1}{x}\Gamma\left(\frac{1}{x}-k\right)\left(\Gamma\left(\frac{1}{x}-k\right)\prod_{j=1}^{k+1}\left(\frac{1}{x}+1-j\right)\right)^{-1}\\ & =\frac{1}{x}\left(\prod_{j=1}^{k+1}\left(\frac{1}{x}+1-j\right)\right)^{-1}\\ & =\frac{1}{x}\left(\prod_{j=0}^{k}\left(\frac{1}{x}-j\right)\right)^{-1}\\ & =\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x^{k+1}}\prod_{j=0}^{k}\left(1-jx\right)\right)^{-1}\\ & =x^{k}\prod_{j=1}^{k}\left(1-jx\right)^{-1} \end{align*} となる。
(5)
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!} & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}\frac{x^{n}}{n!}\\ & =\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(jx\right)^{n}}{n!}\\ & =\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)e^{jx}\\ & =\frac{1}{k!}\left(e^{x}-1\right)^{k} \end{align*}(6)
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}y^{k} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(e^{x}-1\right)^{k}}{k!}y^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(y\left(e^{x}-1\right)\right)^{k}}{k!}\\ & =\exp\left(y\left(e^{x}-1\right)\right) \end{align*}(7)
第2種スターリング数の定義なので成り立つ。(7)-2
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)P\left(x,k\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)\sum_{j=0}^{\infty}S_{1}\left(k,j\right)x^{j}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}x^{j}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)S_{1}\left(k,j\right)\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}x^{j}\delta_{n,j}\\ & =x^{n} \end{align*}ページ情報
タイトル | スターリング数の母関数 |
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第1種スターリング数の符号
\[
\left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)
\]
スターリング数とベルヌーイ数の関係
\[
\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}S_{1}\left(m+1,k+1\right)B_{k}=\frac{1}{m+1}
\]
(*)スターリング数の漸化式
\[
S_{1}\left(n,k\right)=S_{1}\left(n-1,k-1\right)-\left(n-1\right)S_{1}\left(n-1,k\right)
\]
スターリング数の組み合わせ解釈