櫛(くし)空間と位相幾何学者の正弦曲線の定義
櫛空間と位相幾何学者の正弦曲線は次で定義される。

(1)櫛空間

ユークリッド空間\(\left(\mathbb{R}^{2},d\right)\)で
\[ \begin{cases} A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\ A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\ B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\} \end{cases} \] とおいたとき、部分空間
\[ X=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_{k}\cup A_{\infty}\cup B \] を櫛(くし)空間という。
櫛空間は連結であるが局所連結ではない。
何故なら任意の\(X\)上の2点は道で繋がっているから弧状連結となり、弧状連結なので連結となる。
しかし、\(a=\left(0,\frac{1}{2}\right)\)として近傍\(U_{\mathbb{R}^{2}}\left(a,\frac{1}{2}\right)\)をとり、\(U_{\mathbb{R}^{2}}\left(a,\frac{1}{2}\right)\)に含まれる任意の近傍\(V_{\mathbb{R}^{2}}\left(a,\epsilon\right),0<\epsilon<\frac{1}{2}\text{となる}\)に対し、\(V_{\mathbb{R}^{2}}\left(a,\epsilon\right)\cap X\)は連結成分が無限にあり非連結となるので局所連結ではない。
また
\begin{align*} B' & =B\setminus\left(0,0\right)\\ & =\left\{ \left(x,0\right);0<x\leq1\right\} \end{align*} として、櫛空間から原点を除いた空間
\begin{align*} X' & =X\setminus\left(0,1\right)\\ & =\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_{k}\cup A_{\infty}\cup B' \end{align*} は原点抜き櫛空間といい、連結であるが弧状連結でなく局所連結でもない例となる。

(2)位相幾何学者の正弦曲線

ユークリッド空間\(\left(\mathbb{R}^{2},d\right)\)の部分空間
\[ A=\left\{ \left(x,\sin\frac{1}{x}\right);x\in\left(0,1\right]\right\} \cup\left\{ 0,0\right\} \] を位相幾何学者の正弦曲線という。
位相幾何学者の正弦曲線は連結であるが、局所連結でも弧状連結でもない。