複素フーリエ係数の関係
複素フーリエ係数の関係
関数\(f\left(x\right)\)が実関数であるとき、複素フーリエ係数\(c_{n}\)は
\[ c_{-n}=\overline{c_{n}} \] となる。
オーバライン\(\overline{c_{n}}\)は\(c_{n}\)の複素共役を表している。
関数\(f\left(x\right)\)が実関数であるとき、複素フーリエ係数\(c_{n}\)は
\[ c_{-n}=\overline{c_{n}} \] となる。
オーバライン\(\overline{c_{n}}\)は\(c_{n}\)の複素共役を表している。
\(f\left(x\right)\)が実関数であるので、
\begin{align*} c_{-n} & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{inx}dx\\ & =\overline{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx}\\ & =\overline{c_{n}} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
\begin{align*} c_{-n} & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{inx}dx\\ & =\overline{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx}\\ & =\overline{c_{n}} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 複素フーリエ係数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/q6nkzhog/ |
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実フーリエ級数
\[
f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)
\]
フーリエ級数展開でのベッセルの不等式
\[
\sum_{k=-n}^{n}\left|C_{k}\right|^{2}\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx
\]
簡単な関数のフーリエ級数展開
\[
F\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\left(2k-1\right)}\sin\left(\left(2k-1\right)x\right)
\]
複素フーリエ級数
\[
c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx
\]