複素フーリエ係数の関係
複素フーリエ係数の関係
関数\(f\left(x\right)\)が実関数であるとき、複素フーリエ係数\(c_{n}\)は
\[ c_{-n}=\overline{c_{n}} \] となる。
オーバライン\(\overline{c_{n}}\)は\(c_{n}\)の複素共役を表している。
関数\(f\left(x\right)\)が実関数であるとき、複素フーリエ係数\(c_{n}\)は
\[ c_{-n}=\overline{c_{n}} \] となる。
オーバライン\(\overline{c_{n}}\)は\(c_{n}\)の複素共役を表している。
\(f\left(x\right)\)が実関数であるので、
\begin{align*} c_{-n} & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{inx}dx\\ & =\overline{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx}\\ & =\overline{c_{n}} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
\begin{align*} c_{-n} & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{inx}dx\\ & =\overline{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx}\\ & =\overline{c_{n}} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 複素フーリエ係数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/q6nkzhog/ |
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実フーリエ級数
\[
f\left(x\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\left(nx\right)+b_{n}\sin\left(nx\right)\right)
\]
フーリエ級数でのパーセバルの定理
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A\left(x\right)\overline{B\left(x\right)}dx
\]
複素フーリエ級数
\[
c_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-imx}dx
\]
3角関数・指数関数の直交性
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}dx=\delta_{m,n}
\]